1654 - Pascal 與 Fermat：賭注分配問題#

案件摘要#

1654 年，賭徒 de Méré 爵士帶著一個賭博難題請教 Pascal。Pascal 與 Fermat 透過書信往來，解開了「未完賽局如何公平分配賭金」之謎，意外催生了數學期望值的概念，機率論自此誕生。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

文藝復興時期的歐洲賭風盛行，賭徒們早已累積許多經驗法則，卻沒有一套嚴格的數學工具。義大利的 Cardano 在 16 世紀曾寫過《論賭博》（Liber de Ludo Aleae），但流傳不廣。

de Méré 爵士（Antoine Gombaud, Chevalier de Méré）向 Pascal 提出兩個難題：

骰子問題：擲一顆骰子 4 次至少出現一次 6 點，與擲兩顆骰子 24 次至少出現一次雙 6，兩者獲勝機率是否相同？
賭注分配問題（problem of points）：兩人賭博，約定先贏 \(n\) 局者獨得全部賭金，但比賽在中途被迫中斷時，賭金該如何分配？

第二個問題困擾了賭徒數百年。早在 1494 年，義大利數學家 Paciolo 就在《算術大全》中提出此問題，但他的解法（按已贏局數比例分配）顯然不公平——例如 1:0 領先時只分到一半，無法反映領先者的優勢。

問題定義：設 A、B 兩人實力相當（每局勝率各 \(1/2\) ），先贏 \(n=3\) 局者得賭金 \(S\) 。中斷時比數為 \(2:1\) ，如何分配 \(S\) ？

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

Fermat 的解法：枚舉未來所有可能#

Fermat 的想法是：假設比賽繼續進行，列出所有等可能的未來結局，再按 A 獲勝的比例分配。

比數 \(2:1\) 時，最多再賽 2 局分出勝負。Fermat 認為可以「虛擬地」把這 2 局都賽完，共有 \(2^2 = 4\) 種等可能結局：

剩餘 2 局結果	A 累積勝局	勝者
A, A	4	A
A, B	3	A
B, A	3	A
B, B	3	B

（註：先贏 3 局即停，有些組合實際不會賽完，但 Fermat 主張虛擬補完不影響公平性。）

A 在 4 種結局中贏 3 種，故 A 應得 \(\frac{3}{4}S\) ，B 得 \(\frac{1}{4}S\) 。

Pascal 的解法：遞迴期望值#

Pascal 用不同的進路：從賽局終點往回遞推。設 \(E(a,b)\) 為 A 已贏 \(a\) 局、B 已贏 \(b\) 局時 A 應得的份額，則：

\[ E(a, b) = \frac{1}{2}E(a+1, b) + \frac{1}{2}E(a, b+1) \]

邊界條件： \(E(a, n) = S\) （A 已勝）， \(E(n, b) = 0\) （B 已勝）。

以 \(S=1\) 、 \(n=3\) 計算：

\[ E(2,2) = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(0) = \frac{1}{2} \]

\[ E(2,1) = \frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}E(2,2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

兩種方法得到一致答案：A 得 \(\frac{3}{4}\) ，B 得 \(\frac{1}{4}\) 。

期望值概念的誕生#

Pascal 在 1654 年 7 月 29 日寫給 Fermat 的信中，把分配原則總結為「按繼續賽下去可期望獲勝的機率分配」。這正是數學期望值的雛形：

\[ E[X] = \sum_i x_i \, P(x_i) \]

Pascal 還在信中順手解決了骰子問題：

\[ P(\text{4 次內出現 6}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 \approx 0.5177 > 0.5 \]

\[ P(\text{24 次內出現雙 6}) = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 0.4914 < 0.5 \]

de Méré 憑直覺以為比例 \(\frac{4}{6} = \frac{24}{36}\) 會使兩事件機率相同，數學證明了他錯了——直覺在機率面前必須讓位給計算。

Python 遞迴解法與 Monte Carlo 驗證#

from functools import lru_cache
import random

def share_a(n):
    """Pascal 遞迴：A 再需 a 局、B 再需 b 局時 A 的份額（S=1）"""
    @lru_cache(None)
    def E(a, b):
        if a == 0: return 1.0   # A 先贏 n 局
        if b == 0: return 0.0   # B 先贏 n 局
        return 0.5 * E(a-1, b) + 0.5 * E(a, b-1)
    return E

# 比數 2:1、目標 3 局 => A 再需 1 局、B 再需 2 局
E = share_a(3)
print("理論值 E(1,2) =", E(1, 2))   # 0.75

# Monte Carlo 驗證：把中斷的賽局繼續賽完 10000 次
random.seed(42)
N = 100_000
wins = 0
for _ in range(N):
    a, b = 2, 1                     # 中斷時比數
    while a < 3 and b < 3:
        if random.random() < 0.5: a += 1
        else: b += 1
    wins += (a == 3)
print("模擬值 =", wins / N)          # ≈ 0.75

結案 -- 後果與影響#

這 7 封書信（1654 年 7–10 月）被視為機率論的誕生證書。兩人的方法殊途同歸，確立了「等可能結局的計數 + 期望值」兩大支柱。Pascal 在同一時期寫下《思想錄》中著名的「帕斯卡賭注」，把期望值思維推向神學與哲學。賭注分配問題此後成為每一代機率教科書的開場案例，而「如何定義公平」的問題也埋下了後世決策理論與賽局理論的種子。

關鍵人物與文獻#

Blaise Pascal（1623–1662）：法國數學家，《論圓錐曲線》、帕斯卡三角形的系統化者。
Pierre de Fermat（1601–1665）：法國律師與業餘數學家，解析幾何與數論先驅。
Antoine Gombaud, Chevalier de Méré（1607–1684）：賭徒與文人，問題的提出者。
文獻：Pascal–Fermat 書信（1654），收錄於 Varignon《Divers ouvrages de mathématiques et de physique》（1693）。