前 300 年 — 《九章算術》聯立方程#

案件摘要#

大約在西漢時期（一般認為成書於公元前一世紀，內容可追溯到更早的先秦），中國的《九章算術》第八章「方程」記載了以算籌排成長方陣、用「損益」消去法求解聯立一次方程組的完整方法，並系統性地引入正負數運算法則。這是世界上最早對線性聯立方程組與消去法的系統性記載——比 Gauss 的同名方法早了近兩千年。本案追查：遠古的中國算學家，如何在沒有代數記號的世界裡，破獲了「多未知數」的懸案。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

• 田畝與稅收：秦漢時期的國家治理需要大量計算——田畝測量、糧穀交換、按戶徵稅、勞役分攤。這些實務問題經常同時涉及好幾種穀物、好幾個未知量，一個問題就是一組聯立方程。
• 算籌記數：當時沒有符號代數，計算靠擺弄小竹棍（算籌）。要表示「上等禾三捆、中等禾兩捆、下等禾一捆，共收穫三十九斗」這種條件，就把各捆的數字排成一列；把幾個條件疊起來，就自然形成一個「方陣」——「方程」二字，本義就是「並而程之」，把幾列數字並排成一個方形格式。
• 問題樣本（方程章第一題）：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？ 譯成現代記號：

• 古本《九章》原只有題目與答案，方法藏在劉徽（公元 263 年）的註裡——要破案，得靠這位古代偵探留下的證詞。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：籌算方陣——文字化的矩陣#

《九章》把上題的條件用算籌排成右高左低的方陣（直行書寫，右為第一列）：

這正是一個增廣矩陣的「豎排版本」——每一行是一個方程的係數加常數項。古人沒有矩陣之名，卻有矩陣之實。

線索二：「損益」消去法——Gaussian elimination 的遠古原型#

劉徽註中的口訣是「以左行去右行（或相反），頭位相除，以下位損益」：用某一列去乘減另一列，把「頭位」（該未知數的係數）消掉。以第一題為例： 1. 以第三列 \(x+2y+3z=26\) 連乘 3 去減第一列 \(3x+2y+z=39\) 的頭位，得 \(-5y-8z=-39\) ； 2. 連乘 2 去減第二列的頭位，得 \(-y-5z=-18\) ； 3. 再以這兩條新的列互減消去 \(y\) 的頭位，得 \(4z=11\) ，故 \(z=11/4\) ； 4. 逐層回代，得 \(y=17/4\) 、 \(x=37/4\) 。

整個流程是：消元（化為上三角）→ 回代。這與兩千年後 Gauss 教科書中的程序完全同構。而「損益」二字——減不足者則「益」之——正是負數誕生的現場。

線索三：正負數運算法則——世界首創#

消元過程中會出現「小數減大數」的窘境，《九章》的解法是「正負術」：

正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。

意即：同號相減、異號相加、（零減）正數得負數、（零減）負數得正數——這就是完整的減法與加法符號法則。西方要到歐洲文藝復興時期（Stifel、Cardano 前後）才勉強接受負數為「荒謬之數」（numeri absurdi）。中國算學家為了解聯立方程，被迫提前發明並坦然使用了負數。

線索四：與 Gaussian elimination 對照#

將《九章》的消去法翻譯成現代演算法：對增廣矩陣 \([A|b]\) 反覆執行

（對應古人「互乘相減」），把矩陣化為上三角後回代。差別只在：《九章》未做「除法標準化」（即消元時不把主元化為 1，用整數倍互乘避免分數），Gauss 則允許分數運算。古人為了算籌操作的方便，甚至發展出了「通分」「約分」的配套技術。 計算量上，兩者也各有取捨：《九章》的整數互乘使中間數字增長極快（算籌要重排擴位），Gauss 的分數消去法則保持數字小巧但引入捨入誤差——這個「整數精確 vs 分數高效」的取捨，正是今日計算機代數系統（符號計算用整數消去）與數值計算（浮點消去）分道揚鑣的遠古源頭。

線索五：與現代矩陣理論的深層對照#

把《九章》的方陣、消去法、回代翻成現代語言，會發現一整套概念的遠古預告： - 增廣矩陣 \([A|b]\) ：籌算方陣本身就是它； - 初等列變換：互乘相減正是第三種初等列運算（某列的倍數從另一列減去），而且古人操作的是「整數倍互乘、最後一次相減」，天然避免中間出現分數——這在今日的整數消去法（fraction-free elimination，如 Bareiss 演算法）中有直接的現代後代； - 主元（pivot）：「頭位」就是主元；消去時古人特別選「頭位最大」的列操作，隱含了選主元的穩定性直覺； - 秩與退化：方程章也有「無解」「解不唯一」的題目（虧損或矛盾的情形），古人知道某些方陣消到最後會出現「 \(0 = 非零\) 」的矛盾列——這正是秩虧偵測。

更令人驚訝的是：劉徽在註中還討論了「方程新術」——用比率（相當於今日的比值關係）重新改寫方程組，這是對解空間結構的早期思考。一個沒有符號代數的文明，居然摸到了矩陣消元、整數演算法、秩虧偵測三塊現代基石的邊緣。

程式碼範例：九章算術第一題的消去法 numpy 實作#

import numpy as np
from fractions import Fraction as F

# 九章算術·方程章第一題的增廣矩陣（用精確分數）
A = np.array([[F(3), F(2), F(1), F(39)],
              [F(2), F(3), F(1), F(34)],
              [F(1), F(2), F(3), F(26)]])

M = A.copy()
n = 3
for k in range(n):                      # 逐列消去「頭位」
    for i in range(k + 1, n):
        m = M[i, k] / M[k, k]
        M[i, :] = M[i, :] - m * M[k, :]

x = np.zeros(n, dtype=object)           # 回代
for i in range(n - 1, -1, -1):
    s = M[i, n] - sum(M[i, j] * x[j] for j in range(i + 1, n))
    x[i] = s / M[i, i]

print("上禾 =", x[0], "中禾 =", x[1], "下禾 =", x[2])   # 37/4, 17/4, 11/4
print("numpy 驗證：", np.linalg.solve(A[:, :3].astype(float),
                                      A[:, 3].astype(float)))

兩條路徑——兩千年前的「損益」與今日的 linalg.solve——給出完全相同的答案：上禾 \(37/4\) 斗、中禾 \(17/4\) 斗、下禾 \(11/4\) 斗。證據鏈閉合。

結案 -- 後果與影響#

• 「方程」章確立了線性聯立方程組求解思想的源頭：把條件排成方陣、以消去法化簡、逐層回代——這正是矩陣消元與 Gaussian elimination 的原型，比 Gauss 早近兩千年。
• 正負數運算法則作為解方程的工具被系統化，是人類數學史上最早對負數運算的明文規定，並由劉徽在註中進一步闡明。負數從「實務需要」誕生，比西方坦然接受早了一千多年。
• 整數消去法的遠古原型：互乘相減避免分數的策略，在今日的 fraction-free elimination（Bareiss 演算法，用於計算機代數系統）中有直接的現代後代。
• 劉徽 263 年注《九章》，其「方程」註文成為後世（如宋元時期秦九韶、朱世傑的「天元術」「四元術」）發展高次與多元方程的基礎；朱世傑 1303 年的《四元玉鑒》甚至處理了四元高次聯立方程——消去法路線在東亞延續了千年。
• 遺憾的是，這條技術路線在明清之際逐漸失傳；西方世界對消去法與行列式的重新發明要等到 Leibniz（1693）、Cramer（1750）、Gauss（1810 年前後）的時代。今天教科書裡的 Gaussian elimination，其實有一個早了兩千年的東方前身——這是數學史上「發明—失傳—再發明」最長的一條懸案。

關鍵人物與文獻#

• 《九章算術》卷八「方程」，成書約公元前一世紀（內容更早）。
• 劉徽《九章算術注》（263 年）。
• 郭書春《九章算術譯注》；李儼、杜石然《中國古代數學簡史》。