1750 — Cramer 法則#

案件摘要#

1750 年，瑞士日內瓦數學家 Gabriel Cramer 出版《線性代數分析引論》（Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques），其中附錄首次以出版品形式給出： \(n\) 個未知數、 \(n\) 個聯立一次方程組的解可用兩個行列式之比表出——

這就是後世所稱的 Cramer 法則。本案追查：這個公式為何誕生於一本「曲線分析」的書附錄裡？以及為什麼它效率不高、卻依然成為線性代數的經典？

前因 -- 為什麼會有這個案子#

• Leibniz 的未發明線索：Leibniz 1693 年已在信中寫下二階行列式與 resultant 的想法，但手稿未發表、被遺忘。Cramer 並不知道這些信。
• Maclaurin 的未發表工作：蘇格蘭數學人 Colin Maclaurin 在 1748 年去世後出版的《代數論》（Treatise of Algebra，附錄）中，已對二元、三元、四元聯立方程給出用係數表達的解——但用的是文字冗長的消元描述，且未曾推廣到一般 \(n\) 。Cramer 在書中還引用並致謝了 Maclaurin。史料考據（Muir）指出：二階、三元的規則 Maclaurin 更早，但 ** \(n\) 個未知數的一般處理與標準記號屬於 Cramer**。
• Cramer 的實際動機：他寫這本書是為了研究代數曲線——決定一條曲線需要多少個點？確定圓錐曲線需要五個點，對應一組五元聯立方程。曲線問題源源不絕地生出高階聯立方程組，逼出一個一般解法。
• 記號困境：之前的數學家用「第一個未知數、第二個未知數」這樣的文字敘述， \(n\) 一大就寫不下去。Cramer 採用了他朋友 Johann Bernoulli 的雙下標記號 \(a_{ij}\) ，使一般公式的書寫成為可能。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：Cramer 法則的推導#

對 \(n\) 個方程 \(A\mathbf{x} = \mathbf{b}\) ， \(\det A \neq 0\) 。以二元情形為樣本：

消去 \(y\) 得 \(x = \dfrac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1}\) 。分母正是 \(\det A\) ；分子是把常數列 \(c\) 換掉 \(A\) 的第一行後的行列式——

一般 \(n\) ：把 \(\mathbf{b}\) 替換 \(A\) 的第 \(i\) 行得到 \(A_i\) ，則 \(x_i = \det(A_i)/\det(A)\) 。Cramer 的證明是對 \(n\) 做歸納：逐次消去一個未知數，展示公式如何保持形狀。

線索二：為什麼公式會成立？—— Laplace 展開的視角#

用現代語言可給出優雅的一行證明：對 \(\det(A_i)\) 沿第 \(i\) 行（即 \(\mathbf{b}\) 所在的那行）展開，得

其中 \(C_{ki}\) 是 \(A\) 的 \((k,i)\) 餘因子（cofactor）。代回 Cramer 法則：

（餘因子的正交性： \(\sum_i a_{ji}C_{ki} = \det A\,\delta_{jk}\) 。）公式成立的全部秘密藏在餘因子的正交性裡。

線索三：效率的伏筆——法則很美，但很慢#

Cramer 法則需要計算 \(n+1\) 個 \(n\) 階行列式，而每個行列式按定義有 \(n!\) 項。直接展開的計算量是

——當 \(n = 20\) 時已是天文數字（ \(20! \approx 2.4\times10^{18}\) 項）。相比之下，Gaussian elimination 只要 \(O(n^3)\) 。十九世紀的數值分析學家（後來的 Bunch–Hopcroft 複雜度分析）正式定案：Cramer 法則是理論上的優雅、計算上的災難。這個效率問題的伏筆，要到 Gauss 消去法成熟後才被清算。

線索四：與九章算術的對照#

《九章算術》的「損益」消去法（比 Cramer 早近兩千年）回答的是「如何逐步算出解」；Cramer 法則回答的是「解的封閉公式是什麼」。兩者是同一個問題的兩種答案：一條是演算法路線（逐步消元），一條是公式路線（行列式之比）。Cramer 的雙下標記號 \(a_{ij}\) 也與 Leibniz 的「指數對」記號異曲同工——記號的成熟，是一般理論誕生的前提。

程式碼範例：Cramer 法則求解對照#

import numpy as np
import time

def cramer(A, b):
    A = np.array(A, float); b = np.array(b, float)
    d = np.linalg.det(A)                       # det(A)
    xs = []
    for i in range(len(b)):
        Ai = A.copy(); Ai[:, i] = b            # 換掉第 i 行
        xs.append(np.linalg.det(Ai) / d)       # det(A_i)/det(A)
    return np.array(xs)

# 九章算術第一題（向 Cramer 的方法致意）
A = [[3, 2, 1], [2, 3, 1], [1, 2, 3]]
b = [39, 34, 26]
x = cramer(A, b)
print("Cramer 法則解：", x)                     # [9.25, 4.25, 2.75] = 37/4, 17/4, 11/4
print("numpy 對照   ：", np.linalg.solve(np.array(A, float), b))

# 效率對照：n 增大時 Cramer（用 numpy det）與消去法的時間
for n in [100, 300, 600]:
    M = np.random.rand(n, n); v = np.random.rand(n)
    t0 = time.time(); cramer(M, v); t1 = time.time()
    np.linalg.solve(M, v); t2 = time.time()
    print(f"n={n}: Cramer 式 {t1-t0:.3f}s vs 消去法 {t2-t1:.4f}s")

輸出顯示：Cramer 法則與消去法給出相同解（ \(37/4, 17/4, 11/4\) ），但 \(n\) 增大時 Cramer 式明顯變慢—— \(O(n^3)\) 對 \(O(n!)\) 的差距在數值上現形。

結案 -- 後果與影響#

• Cramer 法則是第一個以出版品形式給出的 \(n\) 元聯立方程一般解公式，使行列式正式成為線性代數的核心工具。
• 雙下標記號 \(a_{ij}\) （借自 Johann Bernoulli）經 Cramer 的使用而廣泛傳播，成為今日矩陣記號的直接源頭之一。
• 「解的可解性由 \(\det A\) 判定」的思想確立： \(\det A \neq 0\) 有唯一解——這是後來「非奇異矩陣」理論的前身。
• 效率問題的伏筆就此埋下：法則優雅但計算量 \(O(n!)\) ，促成了對「更快解法」的長期追尋，最終由 Gauss 消去法（ \(O(n^3)\) ）在數值計算上勝出。
• 附帶影響：代數曲線研究中「確定曲線所需點數 ↔ 聯立方程階數」的對應，成為射影幾何中「五點定圓錐曲線」等結果的代數基礎。

關鍵人物與文獻#

• G. Cramer, Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, Genève (1750)，附錄。
• C. Maclaurin, A Treatise of Algebra (1748)。
• T. Muir, The Theory of Determinants in the Historical Order of Development（1906）：關於 Cramer 與 Maclaurin 優先權的考據。