1812 — Cauchy 行列式理論#

案件摘要#

1812 年，28 歲的 Augustin-Louis Cauchy 在巴黎發表兩篇重磅論文（一篇法文〈Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires...〉，一篇拉丁文〈DeBinis...〉系列），首次把「行列式」當成一個獨立的數學物件系統研究：確立了雙重下標記法 \(a_{ij}\) 、證明乘法規則 \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) 、系統研究行列式的對稱性質。混亂的「符號偵探學」從此變成有法可依的偵探科學。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

1683 年 Leibniz 在寫給 l'Hôpital 的信中已經使用類似行列式的陣列來解線性方程組，但符號笨重、無人跟進——第一樁懸案石沉大海。
1750 年 Cramer 在《曲線解析引論》中提出 Cramer 法則： \(n\) 個未知數、 \(n\) 個方程的解可以用係數陣列的比值表示。但他沒有給這個「陣列」正式的名字與理論，符號的合法性來自直覺。
1772 年 Vandermonde 在巴黎科學院宣讀論文，研究如何用「帶符號的乘積和」計算行列式，並對特殊結構（如循環規則）給出聰明算法。Bézout 也在同期研究消去法中的結式。但這些都是「個案偵辦」，沒有統一的理論框架。
1800 年前後，Gauss 在《算術研究》處理二次型時用「行列式」一詞（determinans，指二次型的判別式性質），但含義與今日不同。
案件的核心疑問：這些散落各處的符號技巧，究竟是不是同一個數學物件？它有沒有自己的運算律？

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：雙重下標記法與定義#

Cauchy 的第一大功績是記法。他把 \(n\) 階行列式寫成方陣 \((a_{ij})\) ，其中第一個下標 \(i\) 標示行、第二個下標 \(j\) 標示列，並定義：

\[ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma)\, a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)} \]

其中 \(\sigma\) 跑遍所有 \(n!\) 個置換， \(\operatorname{sgn}(\sigma)\) 是置換的符號（偶置換 \(+1\) 、奇置換 \(-1\) ）。Cauchy 是第一個清楚地把「符號」與「置換的奇偶性」綁在一起的人——他甚至發展了置換理論（後來成為群論的養分）來當偵查工具。

線索二：乘法規則 \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)#

1812 年論文的高潮是證明：兩個行列式的乘積等於「乘積行列式」。用今日記法：

\[ \det(AB) = \det(A)\,\det(B) \]

Cauchy 用雙重和與置換符號的乘法性質 \(\operatorname{sgn}(\sigma\tau) = \operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)\) 證明此式。他還給出一個漂亮的組合表述：乘積 \(\det(A)\det(B)\) 等於把 \(A\) 的第 \(i\) 行與 \(B\) 的第 \(i\) 列「配對」後形成的所有「合成項」之和——這就是所謂 Cauchy–Binet 公式的雛形（完整版 1815 年由 Cauchy 本人給出，處理非方陣情形）：

\[ \det(AB) = \sum_{S} \det(A_{[n],S})\det(B_{S,[n]}) \]

其中 \(S\) 跑遍所有 \(n\) 元子集。這條公式像指紋比對：把兩個嫌疑人的特徵逐一組合，得到第三人的完整特徵。

線索三：拉丁方與對稱性#

Cauchy 觀察到行列式展開式中各項的正負號排列，可以用「拉丁方」（每行每列符號恰出現一次的方陣）來記憶。3 階與 4 階的符號方陣呈現完美對稱：沿主對角線翻轉不變、符號成對出現。他系統列出一系列恆等式：

轉置不變： \(\det(A^T) = \det(A)\) （Cauchy 證明，解釋了行與列的地位對等）
兩行（列）交換則變號： \(\det(\cdots \text{swap} \cdots) = -\det(A)\)
一行乘 \(c\) 加到另一行：行列式不變
兩行相同則行列式為零： \(\det(A) = 0\)

這些「偵查守則」至今就是每一本線性代數教科書第一章的內容。Cauchy 還研究對稱函數與交錯函數：行列式是變數的交錯函數，這正是他 1812 年法文論文的標題主題。

程式碼範例：Laplace 展開驗證 Cauchy 恆等式#

import numpy as np
from itertools import permutations, combinations

def det_bruteforce(A):
    n = len(A)
    total = 0.0
    for p in permutations(range(n)):
        sgn = 1
        pl = list(p)
        for i in range(n):              # 計算置換符號（氣泡排序法）
            for j in range(i+1, n):
                if pl[j] < pl[i]:
                    sgn = -sgn
        prod = 1.0
        for i in range(n):
            prod *= A[i][p[i]]
        total += sgn * prod
    return total

def det_laplace(A):
    n = len(A)
    if n == 1:
        return A[0][0]
    total = 0.0
    for j in range(n):                  # 沿第一行 Laplace 展開
        minor = [row[:j] + row[j+1:] for row in A[1:]]
        total += ((-1)**j) * A[0][j] * det_laplace(minor)
    return total

A = [[2, 1, 3], [0, -1, 4], [5, 2, 1]]
B = [[1, 0, 2], [3, 1, 1], [0, 2, -1]]
AB = [[sum(A[i][k]*B[k][j] for k in range(3)) for j in range(3)] for i in range(3)]

print("brute force det(A)      =", det_bruteforce(A))
print("Laplace    det(A)      =", det_laplace(A))
print("det(AB)                =", det_bruteforce(AB))
print("det(A)*det(B)          =", det_bruteforce(A)*det_bruteforce(B))
print("det(A^T)               =", det_bruteforce(list(map(list, zip(*A)))))

# Cauchy–Binet：對 2x3 乘 3x2 的驗證
A2 = [[1, 2, 0], [3, 1, 4]]
B2 = [[2, 1], [0, 3], [1, 1]]
cb = sum(det_laplace([[A2[i][s] for s in S] for i in range(2)]) *
         det_laplace([[B2[s][j] for j in range(2)] for s in S])
         for S in combinations(range(3), 2))
AB2 = [[sum(A2[i][k]*B2[k][j] for k in range(3)) for j in range(2)] for i in range(2)]
print("Cauchy–Binet sum       =", cb, " det(AB) =", det_laplace(AB2))

輸出顯示三條線索全部吻合：暴力展開與 Laplace 展開相等、 \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) 、 \(\det(A^T)=\det(A)\) 、Cauchy–Binet 和恰等於 \(\det(AB)\) 。

結案 -- 後果與影響#

行列式從「解方程的符號技巧」升格為獨立的代數物件，擁有自己的定義、記法與運算律。
Cauchy 的置換符號理論直接餵養了 1840–1880 年代 Galois、Jordan 的群論。
1841 年 Jacobi 站在 Cauchy 肩膀上，把行列式推廣到函數行列式（Jacobian），打開多元微積分的大門。
1850 年 Sylvester 創造 "matrix" 一詞、1858 年 Cayley 建立矩陣代數——兇器（陣列）終於有了正式身分證。
「determinant」一詞由 Gauss 使用的 determinans 經 Cauchy 確立為今日術語。

關鍵人物與文獻#

人物	角色
Augustin-Louis Cauchy	系統化行列式理論、證明乘法規則
Alexandre-Théophile Vandermonde	早期行列式算法（1772）
Gabriel Cramer	Cramer 法則（1750）
Carl Friedrich Gauss	determinans 一詞的先行者
Pierre-Simon Laplace	Laplace 展開（1772）

A.-L. Cauchy, Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires par suite des transpositions opérées entre les variables qu'elles renferment, J. Éc. Polytech. 10, 29–112 (1812)。
A.-L. Cauchy, Mémoire sur le nombre des valeurs qu'une fonction de plusieurs variables peut acquérir..., J. Éc. Polytech. 10, 1–28 (1815)。