1748 — Euler 複數指數與恆等式#

案件摘要#

1748 年，Leonhard Euler 出版《Introductio in analysin infinitorum》（無窮分析引論），在其中寫下數學史上最美的一條公式：

令 \(\theta = \pi\) ，即得著名的 Euler 恆等式 \(e^{i\pi} + 1 = 0\) ——分析學的五個基本常數 \(e,\, i,\, \pi,\, 1,\, 0\) 在一行式中相遇。這條公式不是靈感乍現，而是 Euler 從級數與對數的長年偵查中推理出來的：虛數從此不再是代數方程的幽靈，而是分析學的正式公民。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

• 1614 年 Napier 發明對數：把乘法化為加法，成為計算利器；但對數的底數 \(e\) （ \(e = \lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n\) ）要到 Euler 手中才被命名並系統研究。
• 1665–1676 年 Newton 與 Leibniz 的微積分：冪級數 \(e^x = \sum x^n/n!\) 、 \(\sin x\) 、 \(\cos x\) 的展開式在 17 世紀已為人知。
• 1676 年 Leibniz 手稿：已寫下 \(i = \sqrt{-1}\) 與虛數的形式運算，但視其為「介於存在與不存在之間的兩棲動物」。
• 1707 年 De Moivre 公式： \((\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\) （ \(n\) 為整數），暗示複數的乘冪與三角函數之間有深層聯繫，但 De Moivre 未寫成指數形式。
• 1712–1740 年代對數的爭議：負數與虛數的對數是否存在？Leibniz 與 Bernoulli 筆戰多年：Bernoulli 主張 \(\ln(-x) = \ln x\) （因 \((-x)^2 = x^2\) ），Leibniz 反對。爭議懸而未決。

案子就在對數與級數的交叉點上成形： \(e^x\) 的級數裡若允許 \(x = i\theta\) ，會出現什麼？

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索一：三個級數的並排#

Euler 在《Introductio》第七章把三個級數並排：

把 \(x = i\theta\) 代入 \(e^x\) 的級數，注意 \(i^2 = -1\) 、 \(i^3 = -i\) 、 \(i^4 = 1\) （四項一循環）：

實部自動收斂成 \(\cos\theta\) ，虛部自動收斂成 \(\sin\theta\) ——級數的結構本身洩露了天機。

線索二：De Moivre 公式的指數化#

De Moivre 公式 \((\cos\theta+i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\) 在 Euler 的公式下變得顯而易見：

De Moivre 的「魔術」原來只是指數律：複數乘冪就是角度乘法。更進一步，歐拉寫下複數的極座標形式：

複數乘法 \(z_1 z_2 = r_1 r_2\, e^{i(\theta_1+\theta_2)}\) ——長度相乘、角度相加，幾何與代數在此合流。

線索三：Euler 恆等式與複對數#

令 \(\theta = \pi\) ： \(e^{i\pi} = -1\) ，即

這條恆等式把五個常數 \(e\) （分析）、 \(i\) （代數）、 \(\pi\) （幾何）、 \(1\) 與 \(0\) （算術）連成一線。Euler 還解決了複對數懸案：由 \(e^{i\theta} = \cos\theta+i\sin\theta\) 取對數得

Bernoulli 錯了： \(\ln(-x) \neq \ln x\) 。而且 Euler 指出複對數是多值的： \(e^{i(\theta+2k\pi)} = e^{i\theta}\) 對所有整數 \(k\) 成立，故

複對數不是單一函數，而是無限多層的螺旋——這是「多值函數」概念的誕生，也是日後複變函數論的核心難題（分支切割）的起點。

線索四：從 Euler 公式到三角恆等式#

Euler 公式立刻產生兩個推論（把 \(\theta\) 換成 \(-\theta\) 相加減）：

三角函數變成複指數的代數組合，一切三角恆等式（和角、倍角、積化和差）都化為指數律的機械操作——Euler 用一條公式把整本三角學「降維」成代數。

程式碼範例：Euler 公式的數值驗證#

import numpy as np
from math import factorial

# 線索一：級數部分和逼近 e^{iθ}
theta = 1.0  # 弧度
for k in [5, 10, 20]:
    n = np.arange(k)
    partial = np.sum(1j**n * theta**n / np.array([factorial(m) for m in n]))
    print(f"前 {k} 項部分和 = {complex(round(partial.real,8), round(partial.imag,8))}")
print("精確值 e^{i} =", np.exp(1j*theta), " cos+i sin =", np.cos(theta)+1j*np.sin(theta))

# 線索二：De Moivre 公式數值驗證
z = np.exp(0.5j)  # r=1, θ=0.5
for n in [2, 3, 7]:
    lhs = z**n
    rhs = np.exp(1j*0.5*n)
    print(f"n={n}: (e^(i0.5))^{n} = {lhs:.8f}  vs  e^(i{n*0.5}) = {rhs:.8f}  相等: {np.allclose(lhs, rhs)}")

# 線索三：Euler 恆等式
print("e^{iπ} =", np.exp(1j*np.pi), " → e^{iπ}+1 =", np.exp(1j*np.pi)+1)

# 複數平面視覺化：單位圓上 e^{iθ}
import matplotlib.pyplot as plt
ths = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.plot(np.cos(ths), np.sin(ths), 'b-', label='e^{iθ} 單位圓')
for t in np.linspace(0, 2*np.pi, 8, endpoint=False):
    plt.arrow(0, 0, np.cos(t)*0.95, np.sin(t)*0.95, head_width=0.05, fc='r', ec='r')
    plt.text(np.cos(t)*1.1, np.sin(t)*1.1, f'{t:.2f}', ha='center')
plt.axhline(0, c='gray', lw=0.5); plt.axvline(0, c='gray', lw=0.5)
plt.gca().set_aspect('equal'); plt.legend(); plt.title('e^{iθ} traces the unit circle')
plt.show()

數值輸出：級數部分和隨項數增加收斂至 \(e^{i\theta}\) ； \((e^{i\theta})^n\) 與 \(e^{in\theta}\) 在所有 \(n\) 下完全相等（De Moivre 是指數律）； \(e^{i\pi}+1 \approx 0\) （浮點誤差 \(10^{-16}\) 量級）；單位圓圖像顯示 \(e^{i\theta}\) 就是複數平面上的逆時針旋轉。

結案 -- 後果與影響#

• 虛數從代數的「幽靈」升格為分析學的公民： \(e^{i\theta}\) 把複數與微積分、級數、微分方程連成一體。
• 三角學被「降維」：一切三角恆等式化為指數律；今日電機工程中的相量（phasor）分析直接源於 \(e^{i\omega t}\) 。
• 複對數的多值性被發現，是 Riemann 面與分支切割理論的遠祖； \(e^z\) 的週期性（ \(2\pi i\) ）成為複變函數論的基礎事實。
• Euler 公式是 Fourier 分析（1807）的語言基礎：Fourier 級數 \(f(t)=\sum c_n e^{in\omega t}\) 正是用複指數寫的。
• 為 1799 年 Gauss 代數基本定理與 1851 年 Riemann 複變函數論鋪路——本案是「複變函數論」這門學科的直接起點。
• \(e^{i\pi}+1=0\) 被譽為「最美數學公式」，它見證了：數學的分支（代數、幾何、分析）本是一體。

關鍵人物與文獻#

• L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Lausanne: Bousquet (1748)，第七章： \(e^{i\theta}\) 公式與複對數。
• L. Euler, De la controverse entre Mrs. Leibniz et Bernoulli sur les logarithmes des nombres négatifs et imaginaires (1749)：複對數多值性的系統論述。