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隨機微積分的歷史年表（科學史）#

隨機微積分是「會抖動的微積分」：當布朗運動的花粉、股市的價格、神經元的訊號都走上不規則之路，牛頓與萊布尼茲的鏈鎖律就失效了。從 Brown 的花粉、 Bachelier 的投機、Einstein 的擴散、Langevin 的阻尼，到 Wiener 的嚴格構造、Kolmogorov 的公理、Itô 的積分與公式，再到 Black–Scholes、鞅定價、BSDE、粒子濾波、粗糙路徑、Hairer 的正則結構，直到深度 BSDE、神經 SDE 與擴散生成模型——這部歷史就是人類追問「隨機性能否微分」的兩百年探案史。

本書以「推理探案」的方式，為每個歷史事件寫一篇 wiki，包含前因後果、理論與公式。每篇檔名以年份開頭。

目錄（Wiki 書篇目）#

第一幕：混沌初見 — 抖動被看見（1827–1923）#

年份 事件 Wiki
1827 Brown 布朗運動：花粉在水中的詭異之舞 1827-Brown布朗運動.md
1900 Bachelier 投機理論：巴黎股市裡的布朗運動，比 Einstein 早五年 1900-Bachelier投機理論.md
1905 Einstein 布朗運動：奇蹟年第四篇，原子存在的數學證據 1905-Einstein布朗運動.md
1906 Markov 鏈：無記憶的隨機接龍 1906-Markov鏈.md
1908 Langevin 方程：阻尼＋噪聲，第一條隨機微分方程 1908-Langevin方程.md
1909 Perrin 實驗證實：數出阿佛加厥常數，終結原子論戰 1909-Perrin實驗證實.md
1923 Wiener 過程：布朗運動的嚴格數學誕生 1923-Wiener過程.md

第二幕：公理與積分 — 隨機站上嚴格地基（1931–1951）#

年份 事件 Wiki
1931 Kolmogorov 方程：前向 Fokker–Planck 與後向方程 1931-Kolmogorov方程.md
1933 Kolmogorov 公理化：機率論的《幾何原本》 1933-Kolmogorov公理化.md
1942 Itô 積分：向未來看齊的隨機積分 1942-Ito積分.md
1949 Feynman–Kac 公式：拋硬幣解熱方程 1949-FeynmanKac公式.md
1951 Itô 公式：隨機世界的鏈鎖律，多出二階項 1951-Ito公式.md

第三幕：濾波、控制與金融 — 隨機走進華爾街（1955–1982）#

年份 事件 Wiki
1955 Maruyama 格式：Euler–Maruyama，SDE 第一個數值解 1955-Maruyama數值格式.md
1960 Girsanov 定理：換個機率，漂移消失 1960-Girsanov定理.md
1960 Kalman 濾波：登月背後的遞迴估計 1960-Kalman濾波.md
1973 Black–Scholes 公式：選擇權定價的封神之作 1973-BlackScholes公式.md
1975 Milstein 格式：強收斂一階的修正項 1975-Milstein格式.md
1976 Malliavin 變分：Wiener 空間上的微積分，無需微分的希臘字母 1976-Malliavin變分.md
1979 鞅定價：Harrison–Kreps–Pliska，無套利即鞅測度 1979-鞅定價理論.md
1982 Anderson 逆時 SDE：把擴散倒著播，生成模型的祖師爺 1982-Anderson逆時SDE.md

第四幕：結構深化 — 非線性、量子與粗糙（1984–1998）#

年份 事件 Wiki
1984 量子隨機微積分：Hudson–Parthasarathy 的量子 Itô 表 1984-量子隨機微積分.md
1990 BSDE 倒向隨機微分方程：Pardoux–Peng，從終點倒著解 1990-BSDE倒向方程.md
1992 Kloeden–Platen 數值聖經：SDE 數值解的大一統 1992-KloedenPlaten數值聖經.md
1993 Heston 隨機波動：微笑曲線的隨機解 1993-Heston隨機波動.md
1993 粒子濾波：Gordon–Salmond–Smith 的自助濾波器 1993-粒子濾波.md
1998 Lyons 粗糙路徑：比 Itô 更粗的積分，Hölder 指数小於二分之一 1998-Lyons粗糙路徑.md

第五幕：奇異與智能 — 從 KPZ 到生成式 AI（2014–至今）#

年份 事件 Wiki
2014 Hairer 正則結構：KPZ 的嚴格解，Fields 獎 2014-Hairer正則結構.md
2014 Rough Volatility：波動比布朗更粗糙， \(H \approx 0.1\) 2014-RoughVolatility.md
2017 Deep BSDE：E–Han–Jentzen，高維 PDE 的神經解法 2017-DeepBSDE.md
2018 Neural SDE：把 SDE 寫進神經網路層 2018-NeuralSDE.md
2021 擴散生成模型 SDE：Song 等人的分數逆擴散，Anderson 歸來 2021-擴散模型SDE.md

程式實作（_code/，檔名：年份-程式名稱.py，全數 numpy 可執行）#

程式 對應 Wiki 驗證要點
_code/1827-brownian_msd.py 1827 Brown 二維均方位移 \(\approx 4Dt\)
_code/1900-bachelier_option.py 1900 Bachelier MC 與 Bachelier 公式誤差 \(< 1\%\)
_code/1905-einstein_diffusion.py 1905 Einstein／1909 Perrin MSD 斜率還原擴散係數
_code/1906-markov_stationary.py 1906 Markov 模擬頻率 \(\approx\) 平穩分佈
_code/1908-langevin_ou.py 1908 Langevin 平穩變異數 \(\approx \sigma^2/2\theta\)
_code/1923-wiener_qv.py 1923 Wiener 二次變差 \(\to T\)
_code/1931-fokker_planck_ou.py 1931 Kolmogorov 直方圖 \(\approx\) 解析常態
_code/1933-clt_demo.py 1933 公理化 標準化均值逼近常態
_code/1942-ito_isometry.py 1942 Itô／1984 量子 均值 \(0\) 、變異數 \(T^2/2\)
_code/1949-feynman_kac_heat.py 1949 Feynman–Kac MC 解熱方程誤差 \(< 1\%\)
_code/1951-ito_gbm.py 1951 Itô 公式 Itô 修正項 \(-\sigma^2/2\) 現形
_code/1955-euler_maruyama_order.py 1955 Maruyama／1992 聖經 強收斂約 \(1/2\) 階
_code/1960-girsanov_drift.py 1960 Girsanov 加權均值還原漂移
_code/1960-kalman_1d.py 1960 Kalman RMSE 低於 raw 觀測三成以上
_code/1973-black_scholes_mc.py 1973 Black–Scholes MC 與公式誤差 \(< 1\%\)
_code/1975-milstein_order.py 1975 Milstein／1992 聖經 強收斂約 \(1\) 階
_code/1976-malliavin_delta.py 1976 Malliavin 權重 Delta \(\approx\) 解析值
_code/1979-binomial_crr.py 1979 鞅定價 CRR 收斂至 BS 公式
_code/1982-reverse_ou.py 1982 Anderson 逆時重建邊際分佈
_code/1990-linear_bsde.py 1990 BSDE／2017 Deep BSDE 迴歸解 \(\approx\) 解析解
_code/1993-heston_mc.py 1993 Heston 賣買權平價成立
_code/1993-particle_filter.py 1993 粒子濾波 RMSE 達 Kalman 九成水準
_code/1998-fbm_hurst.py 1998 Lyons／2014 Rough Vol 變異數標度 \(t^{2H}\)
_code/2018-ou_mle.py 2018 Neural SDE 參數還原誤差 \(< 10\%\)
_code/2021-score_diffusion_1d.py 2021 擴散模型 雙峰還原，KS 檢定通過

因果鏈總覽#

Brown (1827) ── 花粉之舞 ── Bachelier (1900) ── 投機即布朗 ── Einstein (1905) ── 擴散定量
     │                                                              │
     │                                                              ├─ Markov (1906) ── 無記憶鏈
     │                                                              ├─ Langevin (1908) ── 阻尼＋噪聲 ── OU ── Kalman (1960) ── 粒子濾波 (1993)
     │                                                              ├─ Perrin (1909) ── 原子實證
     │                                                              └─ Wiener (1923) ── 嚴格構造 ── QV ── 粗糙路徑 (1998) ── Rough Vol (2014)
     │
     ├─ Kolmogorov (1931) ── 前向/後向方程 ── Fokker–Planck ── 數值 PDE 分支
     ├─ Kolmogorov (1933) ── 公理化 ── LLN/CLT 地基
     │
     └─ Itô積分 (1942) ── Itô公式 (1951) ── SDE 世界
              │                                          │
              ├─ Feynman–Kac (1949) ── 拋硬幣解 PDE ── BSDE (1990) ── Deep BSDE (2017)
              ├─ Maruyama (1955) ── EM ── Milstein (1975) ── Kloeden–Platen (1992)
              ├─ Girsanov (1960) ── 換測度 ── 鞅定價 (1979) ── BS (1973) ── Heston (1993)
              ├─ Malliavin (1976) ── Wiener 微分 ── 希臘字母
              ├─ Anderson逆時 (1982) ── 擴散生成 (2021)
              ├─ 量子隨機 (1984) ── 非交換分支
              └─ Hairer正則 (2014) ── KPZ ── 奇異 SPDE 分支

寫作方式說明#

每篇 wiki 採「推理探案」結構：

  1. 案發現場（前因）：當時的未解之謎是什麼？誰遇到的？為何重要？
  2. 偵查過程（推理）：主角如何思考？關鍵靈感為何？核心技術（方程、測度變換、數值格式）如何推導，含數學式與表格。
  3. 結案報告（後果）：謎題如何解？留下什麼遺產？影響了哪些後續事件？
  4. 證據與工具：關鍵公式、演算法虛擬碼或 Python 模擬程式、參數表（非必要不硬寫程式，優先講清理論）。
  5. 補充：程式實作：對應 _code/ 可執行程式的連結、理論呼應、執行方式、實測輸出、讀者實驗，以及完整程式碼。