1976 年 Malliavin 變分：不微分路徑也能算希臘字母#

案發現場#

案發現場有兩具「屍體」。第一具是 Hörmander 留下的難題：退化擴散（噪聲只打在部分方向）的轉移密度為何仍光滑？Hörmander（1967）用偽微分算子給出解析證明，但機率學家想要一個機率證明：光滑性應來自噪聲在 Lie 括號作用下「攪拌」到所有方向。

第二具是交易室的日常：Delta、Gamma、Vega 都要算。有限差分 \((V(S+\epsilon)-V(S))/\epsilon\) 又慢又抖，對不連續 payoff（如數位選擇權）更是災難。能否不微分 payoff，只對光滑的密度動手？

1976 年，Paul Malliavin 在 Wiener 空間上建立變分學，把「對布朗路徑求導」變成嚴格數學。核心武器是分部積分：把對 payoff 的導數轉嫁到權重上。

偵查過程#

Malliavin 的第一步是定義 \(D\) 算子。對柱形泛函 \(F = f(W_{t_1},\dots,W_{t_n})\) ，定義其 Malliavin 導數為隨機過程：

直覺是：把布朗路徑在 \(t\) 時刻輕輕一推， \(F\) 變化多少。 \(D\) 是從隨機變數到隨機過程的算子，配上 Sobolev 範數形成 \(\mathbb D^{1,2}\) 空間。

第二步是 Skorokhod 積分 \(\delta\) ，它是 \(D\) 的伴隨算子，分部積分公式為：

其中 \(H\) 為 Cameron–Martin 空間， \(u\) 為適當的過程。這條公式是全案的兇器：左邊含 \(F\) 的導數，右邊只含 \(F\) 本身乘上權重 \(\delta(u)\) 。

偵查的高潮是希臘字母。歐式選擇權 \(C_0 = e^{-rT}E[\Phi(S_T)]\) 的 Delta 可寫成：

（此處取 \(r = 0\) 簡化，完整版多一折現因子。）payoff \(\Phi\) 再也不用微分，即使是數位選擇權的階梯函數也能算。這就是 Malliavin 權重法。

案情結構如下表：

hypoellipticity 的機率證明思路是：SDE 解 \(X_T\) 的 Malliavin 協方差 \(\Gamma\) 在 Hörmander 括號條件下幾乎必然可逆，分部積分反覆作用可得密度任意階可微。這把 1967 年的解析堡壘改寫成機率語言，Stroock、Watanabe 等人後續補上大偏差與漸近展開。

結案報告#

結案有兩份。第一份給分析：退化擴散的光滑性得證，Malliavin 以機率手法重奪 hypoellipticity。第二份給金融：希臘字母不必差分，權重法一次模擬同時給出價格與 Delta，方差更小、適用更廣。

遺產第一層是計算金融：Fournié 等人（1999）把權重法系統化為交易室工具，Gamma、Vega 皆有對應權重。第二層是隨機分析：Wiener 空間的 Sobolev 理論、密度估計、 Stein 方法，全數由此開枝。第三層是理念：微分不必作用在最粗糙的對象上，伴隨算子可以把導數搬到光滑處。這一思想在 2021 年擴散模型的分數匹配中再度還魂。

Malliavin 本人是法國學派的鋼琴家數學家，此案之後 Wiener 空間從此有了微積分。路徑雖不可微，泛函依然可變分——這就是本案的墓誌銘。

證據與工具#

核心證物一：Malliavin 導數， \(1\) 表指示函數， \(H\) 範數即 \(L^2\) 範數：

核心證物二：分部積分， \(\delta\) 為 Skorokhod 積分：

核心證物三：權重 Delta， \(\Phi\) 為 payoff， \(W_T\) 為終值布朗：

辦案工具箱：

接案提示：以數位買權 \(1_{S_T > K}\) 為實驗對象，有限差分會劇烈抖動，而 Malliavin 權重一次給出穩定 Delta。

補充：程式實作#

對應程式#

本節對應程式為 1976-malliavin_delta.py 。

理論呼應#

本文核心為分部積分公式 \(E[\langle DF, u \rangle_H] = E[F \delta(u)]\) ，它把對 payoff 的導數搬到權重上。 歐式買權的權重 Delta 寫為 \(\Delta = E[\Phi(S_T) W_T / S_0 \sigma T]\) ，其中 \(\Phi\) 為 payoff 且 \(W_T\) 為終值布朗運動。 程式以此權重一次模擬同時估計價格與 Delta，無須微分不連續 payoff，對照解析解 \(N(d_1)\) 驗證精度。 此結果呼應 Malliavin 導數 \(D_t F\) 與 Skorokhod 積分 \(\delta\) 互為伴隨的核心思想。

執行方式#

在本文所在目錄執行 python3 _code/1976-malliavin_delta.py 。

實測輸出#

本次實測使用 1000000 條路徑，測得解析 Delta 為 0.636831，Malliavin 估計為 0.637901，相對誤差為 0.1680%。 共同亂數下差分估計為 0.636609，相對誤差為 0.0348%，兩者皆通過小於 2% 與小於 3% 的驗證門檻。

讀者實驗#

可將擾動 \(h\) 由 1.0 改為 0.5，再比較權重法與差分法的相對誤差變化。

完整程式如下：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""1976 Malliavin Delta（對應 wiki：Malliavin 微積分 / Bismut–Elworthy–Li Greeks）。
歐式 call：Delta = e^{-rT} E[Phi(S_T) * W_T/(S0*sigma*T)]（Malliavin 權重），
對照解析解 N(d1) 與 bump-and-revalue（共同亂數，h=1）。
S0=K=100, r=0.05, sigma=0.2, T=1。要求 Malliavin 相對誤差 < 2%。
只用 numpy（常態 CDF 用 math.erf），固定種子，不畫圖。
"""
import numpy as np
import time
from math import erf

t0 = time.time()
SEED = 1976
np.random.seed(SEED)

S0, K, r, sigma, T = 100.0, 100.0, 0.05, 0.2, 1.0
N = 1_000_000
h = 1.0

_v_erf = np.vectorize(erf)


def ncdf(x):
    return 0.5 * (1.0 + _v_erf(x / np.sqrt(2.0)))


d1 = (np.log(S0 / K) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
delta_exact = float(ncdf(d1))

Z = np.random.randn(N)
W = np.sqrt(T) * Z
grow = np.exp((r - 0.5 * sigma ** 2) * T + sigma * W)
ST = S0 * grow
pay = np.maximum(ST - K, 0.0)
disc = np.exp(-r * T)

delta_mal = float(disc * np.mean(pay * W / (S0 * sigma * T)))

# bump-and-revalue（共同亂數）
pay_up = np.maximum((S0 + h) * grow - K, 0.0)
pay_dn = np.maximum((S0 - h) * grow - K, 0.0)
delta_bump = float(disc * np.mean((pay_up - pay_dn) / (2 * h)))

rel_mal = abs(delta_mal - delta_exact) / delta_exact
rel_bump = abs(delta_bump - delta_exact) / delta_exact

print(f"[malliavin] seed={SEED} N={N} S0=K=100 r={r} sig={sigma} T={T}")
print(f"[malliavin] exact N(d1)={delta_exact:.6f}")
print(f"[malliavin] Malliavin ={delta_mal:.6f} relerr={rel_mal:.4%}")
print(f"[malliavin] bump(h={h})={delta_bump:.6f} relerr={rel_bump:.4%}")
print(f"[malliavin] elapsed {time.time()-t0:.2f}s")

assert rel_mal < 0.02, f"Malliavin relerr {rel_mal} exceeds 2%"
assert rel_bump < 0.03, f"bump relerr {rel_bump} exceeds 3%"
print(f"VERIFY: malliavin relerr={rel_mal:.4%}<2%, bump relerr={rel_bump:.4%} PASS")