1979 年鞅定價理論：無套利即是鞅測度#

項目	內容
案發時間	1979 年（Harrison–Kreps），1981 年（Harrison–Pliska）
案發地點	史丹佛大學、西北大學，izheh 通往巴黎 NFLVR
主角	J. Michael Harrison、David Kreps、Stanley Pliska、Delbaen–Schachermayer（後續）
案件性質	Black–Scholes 的風險中性只是特例？無套利的終極數學形態為何
關鍵證物	等價鞅測度 EMM， \(C_0 = e^{-rT}E_Q[\Phi]\) ，NFLVR≈EMM
關聯案件	1960 年 Girsanov、1973 年 Black–Scholes、1979 年 CRR 二項樹

案發現場#

1973 年 Black–Scholes 用對沖 PDE 算出選擇權價格，但數學家並不滿意。PDE 證明依賴連續交易、自融資、光滑解，處處是分析假設。更深的問題是：風險中性測度 \(Q\) 究竟是計算技巧，還是無套利的本質？

1979 年，Harrison 與 Kreps 把案件搬到鞅的法庭。他們問：在一個多期證券市場中，「沒有套利機會」這句白話，精確對應哪個數學陳述？答案震撼：對應存在一個等價機率測度 \(Q\) ，使所有折現價格都是 \(Q\) 鞅。

案發現場的白板上寫著三行。折現價格 \(\tilde S_t = e^{-rt}S_t\) ，等價測度 \(Q \sim P\) ，鞅性 \(E_Q[\tilde S_t \mid \mathcal F_s] = \tilde S_s\) 。三者齊備，則任何可複製衍生品的價格被迫為：

\[ C_0 = e^{-rT} E_Q[\Phi(S_T)] \]

其中 \(\Phi\) 為到期 payoff。這就是鞅定價公式。

偵查過程#

偵查分三步。第一步，Harrison–Kreps（1979）在離散多期模型中證明：無套利蘊含折現價格可用某個鞅測度表示（鞅 Steal 表現定理的金融版）。這是第一基本定理的雛形。

第二步，Harrison–Pliska（1981）把戰場收窄到有限離散時間，引入 CRR 二項樹的語言，證明市場完備等價於鞅測度唯一。這是第二基本定理的雛形：完備市場中每張或有債權皆可複製，價格唯一。

第三步是連續時間的硬仗。直接的「無套利」太弱，會被 doubling strategy 等詭異套利鑽漏洞。Delbaen–Schachermayer 在 1990 年代以 NFLVR（No Free Lunch with Vanishing Risk）補強，證明 NFLVR 等價於存在等價局部鞅測度（ELMM）。案情表如下：

定理	條件	結論
第一基本定理	NFLVR 成立	存在 EMM / ELMM
第二基本定理	EMM 唯一	市場完備，可複製一切
風險中性定價	\(Q\) 存在	\(C_0 = e^{-rT}E_Q[\Phi]\)
Girsanov 構造	Novikov 等條件	從 \(P\) 造出 \(Q\) 的兇器

偵查的關鍵證人是 CRR 二項樹（Cox–Ross–Rubinstein，1979）。在每步上漲 \(u\) 、下跌 \(d\) 的樹上，風險中性機率有顯式：

\[ q = \frac{e^{rh} - d}{u - d} \]

以 \(q\) 倒推期望並折現，即得二項價格；當步數趨無窮，樹收斂到 Black–Scholes 公式。學生第一次看見 \(Q\) 不是抽象存在而是 \(q\) 的極限，鞅定價從此不再玄學。

Girsanov 在此案的角色是兇器供應商：把 \(P\) 下的漂移 \(\mu\) 搬成 \(r\) ，造出 \(Q\) 。Novikov 條件不滿足時 EMM 可能不存在，對應市場允許某種套利——數學與經濟在此嚴絲合縫。

結案報告#

結案陳詞：無套利的數學名字叫鞅測度。第一基本定理說 NFLVR 等價於 EMM 存在，第二基本定理說完備等價於 EMM 唯一，而衍生品價格就是 \(Q\) 下的折現期望。

遺產第一層是統一：Black–Scholes 從 PDE 特例升格為鞅定價的推論，利率、波動微笑、跳躍擴散皆可納入同一框架。第二層是計算：二項樹、 Monte Carlo、PDE 三路大軍都只是在算同一個 \(E_Q\) 。第三層是警示：完備市場是童話，實際市場不完備，EMM 不唯一，定價需另選準則（最小熵、最小方差、效用無差異）。

從 1973 的一條公式，到 1979 的一座法庭，再到 1990 年代的 NFLVR 終審，鞅定價用二十年把「公允」二字寫成定理。下一次聽到風險中性，請記得它不是假設，而是無套利逼出來的證人。

證據與工具#

核心證物一：風險中性定價公式， \(E_Q\) 表 \(Q\) 下期望：

\[ C_0 = e^{-rT} E_Q[\Phi(S_T)] \]

核心證物二：鞅性， \(\tilde S_t\) 表折現價格， \(\mathcal F_s\) 表資訊流：

\[ E_Q[\tilde S_t \mid \mathcal F_s] = \tilde S_s \]

核心證物三：CRR 風險中性機率， \(u\) 表上漲倍數， \(d\) 表下跌倍數：

\[ q = (e^{rh} - d)/(u - d) \]

辦案工具箱：

工具	用途	備註
CRR 二項樹倒推	從離散看見 \(Q\)	對應 `_code/1979-binomial_crr.py`
Girsanov 變換	連續模型構造 \(Q\)	漂移 \(\mu \to r\)
NFLVR 檢定	排除 doubling 詭辯	連續時間必備
完備性判定	EMM 唯一即完備	跳躍模型多半不完備

接案提示：實作 CRR 樹為 100 步，觀察其買權價如何收斂至 Black–Scholes 公式， \(q\) 即離散版的風險中性測度。

補充：程式實作#

對應程式#

本節對應程式為 1979-binomial_crr.py 。

理論呼應#

本文核心定價式為 \(C_0 = e^{-rT} E_Q[\Phi(S_T)]\) ，其中 \(Q\) 為等價鞅測度且折現價格滿足 \(E_Q[\tilde S_t \mid \mathcal F_s] = \tilde S_s\) 。程式實作 CRR 二項樹的風險中性機率 \(q = (e^{rh} - d) / (u - d)\) ，以倒推期望逼近同一 \(E_Q\) 。當步數 \(N\) 增至 800 時，樹價收斂至 Black–Scholes 封閉解，體現離散鞅測度趨向連續鞅測度的第一基本定理精神。市場完備時 \(Q\) 唯一，價格亦唯一，此為第二基本定理在本實驗中的數值對照。

執行方式#

在本文所在目錄執行 python3 _code/1979-binomial_crr.py 。

實測輸出#

本次實測以封閉解 10.45058 為基準，測得 50 步樹價為 10.41069，相對誤差為 0.3817%。 200 步樹價為 10.44059，相對誤差為 0.0956%，800 步樹價為 10.44808，相對誤差為 0.0239%。三檔誤差單調遞減，且 800 步誤差小於 0.5%，通過驗證門檻。

讀者實驗#

可將步數 \(N\) 由 800 改為 1600，再觀察樹價相對誤差是否繼續縮小。

完整程式如下：

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""1979 CRR 二項樹（對應 wiki：Cox-Ross-Rubinstein 二項式模型 / 1979 年 CRR 論文）。
參數 S0=K=100, r=0.05, sigma=0.2, T=1（歐式 call）。
u=exp(s*sqrt(dt)), d=1/u, p=(exp(r*dt)-d)/(u-d)，向量化倒推。
比較 N=[50,200,800] 相對 BS 封閉解的誤差：要求誤差遞減且 N=800 誤差 < 0.5%。
只用 numpy（常態 CDF 用 math.erf），固定種子，不畫圖。
"""
import numpy as np
import time
from math import erf

t0 = time.time()
SEED = 1979
np.random.seed(SEED)

S0, K, r, sigma, T = 100.0, 100.0, 0.05, 0.2, 1.0
Ns = [50, 200, 800]

_v_erf = np.vectorize(erf)


def ncdf(x):
    return 0.5 * (1.0 + _v_erf(x / np.sqrt(2.0)))


d1 = (np.log(S0 / K) + (r + 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
C_bs = float(S0 * ncdf(d1) - K * np.exp(-r * T) * ncdf(d2))


def crr_call(N):
    dt = T / N
    u = np.exp(sigma * np.sqrt(dt))
    d = 1.0 / u
    p = (np.exp(r * dt) - d) / (u - d)
    disc = np.exp(-r * dt)
    j = np.arange(N + 1)
    ST = S0 * (u ** j) * (d ** (N - j))
    V = np.maximum(ST - K, 0.0)
    for _ in range(N, 0, -1):
        V = disc * (p * V[1:] + (1.0 - p) * V[:-1])
    return float(V[0])


prices, rels = [], []
for N in Ns:
    c = crr_call(N)
    rel = abs(c - C_bs) / C_bs
    prices.append(c)
    rels.append(rel)
    print(f"[crr] N={N:4d} price={c:.5f} BS={C_bs:.5f} relerr={rel:.4%}")

print(f"[crr] elapsed {time.time()-t0:.2f}s")

assert rels[0] > rels[1] > rels[2], f"errors not decreasing: {rels}"
assert rels[2] < 0.005, f"N=800 relerr {rels[2]} exceeds 0.5%"
print(f"VERIFY: crr relerrs={[f'{e:.4%}' for e in rels]} decreasing, N=800<0.5% PASS")