2014：波動太粗糙了——Rough Volatility 探案#

「布朗運動是個替罪羊，真兇比它粗糙得多。」——高頻數據審訊室牆上的塗鴉。

案發現場#

2014 年之前，華爾街的波動模型像一間佈置整齊的客廳。

Heston 模型說，方差 \(v_t\) 服從 CIR 過程，均值回歸、路徑 Hölder 指數接近 \(1/2\) ，一切歲月靜好。

然而期權櫃檯天天收到投訴：短到期日的隱含波動微笑陡得離譜，標準隨機波動模型怎麼調參都壓不平。

與此同時，高頻數據庫裡堆積了數十億筆報價，Rosenbaum 團隊決定不再相信模型，改為直接審問數據。

他們用變差法估計已實現波動的對數序列 \(\log \sigma_t\) ，計算其 \(q\) 階矩的標度：

結果讓所有人大吃一驚：斜率顯示 \(H \approx 0.1\) ，遠小於布朗運動的 \(H = 0.5\) 。

這意味著對數波動的路徑比布朗運動粗糙得多，幾乎是鋸齒上的鋸齒。

更詭異的是第二具屍體——Zumbach 效應。

經典時間序列模型（如 GARCH）假設波動只依賴過去的平方收益，然而數據顯示，過去的價格趨勢本身會推高未來的波動。

換言之，市場記得「怎麼跌下來的」，而不只記得「跌了多少」，時間反演對稱性在此碎裂。

案發現場留下兩行血字：波動很粗糙，記憶不對稱。

偵查過程#

偵探三人組的審訊分三輪。

第一輪是測量粗糙度，兇器就是 Hurst 指數 \(H\) 。

他們對多種資產、多個時間尺度重複實驗，發現標度律驚人地穩定。

下表是卷宗中的關鍵證詞摘要：

為了排除微結構噪聲的栽贓，他們改用無噪聲的預平均估計量， \(H \approx 0.1\) 依然屹立不搖。

於是他們寫下本案的核心模型——Rough Fractional Stochastic Volatility（RFSV）：

其中 \(W\) 是布朗運動， \(\nu > 0\) 是波動之波動， \(m \in \mathbb{R}\) 是均值水平，而 \(H \approx 0.1\) 是本案編號。

注意核函數 \((t-s)^{H-1/2}\) 在 \(s \to t\) 時奇異，這正是粗糙的來源，也是長期記憶與短期爆發並存的機關。

第二輪審訊對準 Zumbach 效應。

偵探們檢驗了如下回歸：未來已實現方差 \(RV_{t+\Delta}\) 對過去趨勢項 \(R_{t}^2\) 的依賴，其中 \(R_t\) 是過去收益率的加權平均。

他們發現，加入趨勢項後， \(R^2\) 顯著上升，而純 GARCH 型模型無法複製此現象。

這說明波動不是馬可夫的，它對路徑有記憶，且記憶核恰好是分數型的。

在 Rough Heston 的後續版本中，這被寫成 Volterra 方程：

其中分數核 \(K(u) = u^{H-1/2} / \Gamma(H+1/2)\) 同時解釋了粗糙與 Zumbach 記憶。

第三輪是動機驗證：粗糙能否解釋短端微笑爆發？

期權市場的經驗律是：平值偏斜 \(\psi(\tau)\) 隨到期日 \(\tau \to 0\) 按冪律爆炸，

若 \(H = 0.5\) ，則偏斜趨於常數，與市場矛盾；若 \(H \approx 0.1\) ，則偏斜按 \(\tau^{-0.4}\) 爆炸，與市場吻合。

下表對比了嫌疑人的不在場證明：

證據鏈閉環：高頻時間序列的 \(H\) 與期權橫截面的 \(H\) 指向同一個數字。

結案報告#

Gatheral、Jaisson 與 Rosenbaum 在 2014 年的論文題目直白得像結案陳詞：波動是粗糙的。

本案推翻了沿用二十年的光滑波動假設，確立了三條新誡律。

第一，對數波動的正則性由 \(H \approx 0.1\) 刻畫，任何 Hölder 指數高於此的模型在高頻顯微鏡下都會現形。

第二，Rough Heston 與 RFSV 模型僅用三、四個參數，就能同時擬合歷史波動路徑與全期限微笑曲面，終結了為短端單獨打補丁的時代。

第三，Zumbach 效應被重新發現為分數記憶的必然推論，推動了 Volterra 型隨機波動方程與粗糙路徑定價理論的大發展。

後續影響同樣深遠：數值定價被迫改用混合imin 格式與多因子 Markov 近似，因為分數核既非半鞅又非馬可夫；機器學習校準則因參數大幅減少而變得可行。

探長在報告末尾寫道：「市場從不光滑，是我們的模型太渴望光滑。」

粗糙不是噪聲，而是資訊——這句話後來被刻在了 Rough Vol 每一篇後續論文的致謝之前。

證據與工具#

核心證物一：標度律 \(m(q,\Delta) \sim \Delta^{qH}\) 與 \(H \approx 0.1\) 的普適估計，橫跨股票與外匯。

核心證物二：RFSV 積分錶示與分數核 \(K(u) = u^{H-1/2}\) ，粗糙與記憶的統一兇器。

核心證物三：短端偏斜公式 \(\psi(\tau) \sim \tau^{H-1/2}\) ，連接時間序列與期權橫截面的指紋比對。

辦案守則：先讓數據說出 \(H\) ，再讓模型解釋微笑，凡不能同時通過兩堂審訊的波動模型，一律視為嫌疑人。

補充：程式實作#

對應程式#

本節對應程式為 1998-fbm_hurst.py ，以變異數標度迴歸重現 Hurst 指數估計，本程式與 1998 年 Lyons 粗糙路徑篇共用，此處從金融實證的角度解讀。

理論呼應#

本文核心證據是對數波動滿足 \(m(q, \Delta) \sim \Delta^{qH}\) 標度律且 \(H \approx 0.1\) 左右。 程式驗證的正是同一標度律 \(Var B(t) = t^{2H}\) 關係，只是把已實現波動換成分數布朗運動。 \(H = 0.1\) 一組對應市場實測的粗糙波動，其 Hölder 正則性遠低於布朗運動 \(H = 0.5\) 情形。 而短端偏斜公式 \(\psi(\tau) \sim \tau^{H-1/2}\) 冪律正是這種粗糙度的期權市場指紋。

執行方式#

在 隨機微積分 目錄下執行 python3 _code/1998-fbm_hurst.py 即可重現結果，只需 numpy。

實測輸出#

H = 0.1: slope = 0.2264, target 2H = 0.2000, err = 0.0264
H = 0.7: slope = 1.4560, target 2H = 1.4000, err = 0.0560
VERIFY slope_H01=0.2264 slope_H07=1.4560

\(H = 0.1\) 組斜率還原 \(0.2264\) 誤差僅 \(0.0264\) ，呼應文中各資產 \(H\) 皆落在 \(0.1\) 附近的實證發現。

讀者實驗#

將路徑數 M = 500 改為 M = 2000 後重跑，觀察 \(H = 0.1\) 組斜率是否更貼近 \(0.2\) 目標。

完整程式如下：

"""1998 分數布朗運動 Hurst 估計（Cholesky 生成）。
對應 wiki：Mandelbrot–Van Ness (1968) fBM 定義；此處驗證自相似性
  Var B(t) = t^{2H}，即 log Var 對 log t 斜率 = 2H。
生成：時格 t_i = i/N (N=256，含 0 共 257 點)，
  共變異 C(s,t) = (s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H})/2，Cholesky L，路徑 = L z。
實驗：H = 0.1 與 0.7，各 500 條；逐 t 樣本變異數，
  線性迴歸 log Var ~ log t 得斜率，容忍 |slope - 2H| < 0.15。
只用 numpy，固定種子，不畫圖。
"""
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(3)
N = 256
M = 500
Hs = (0.1, 0.7)
t = np.arange(N + 1) / N  # 含 0

slopes = {}
for H in Hs:
    p = 2.0 * H
    ti = t[:, None]
    tj = t[None, :]
    C = 0.5 * (ti ** p + tj ** p - np.abs(ti - tj) ** p)
    C += 1e-12 * np.eye(N + 1)  # 數值 jitter（H=0.1 時近奇異）
    L = np.linalg.cholesky(C)
    Z = rng.standard_normal((N + 1, M))
    paths = L @ Z  # (257, 500)
    var_t = np.var(paths[1:, :], axis=1, ddof=1)  # 去掉 t=0
    logt = np.log(t[1:])
    logv = np.log(var_t)
    slope, intercept = np.polyfit(logt, logv, 1)
    slopes[H] = float(slope)
    print(f"H = {H}: slope = {slope:.4f}, target 2H = {p:.4f}, err = {abs(slope - p):.4f}")

print(f"VERIFY slope_H01={slopes[0.1]:.4f} slope_H07={slopes[0.7]:.4f}")
assert abs(slopes[0.1] - 0.2) < 0.15, f"H=0.1 斜率偏差過大: {slopes[0.1]}"
assert abs(slopes[0.7] - 1.4) < 0.15, f"H=0.7 斜率偏差過大: {slopes[0.7]}"