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01.1 從牛頓到拉格朗日到哈密頓#

本章導讀#

力學有三種「語言」：Newton 的向量語言、Lagrange 的解析語言、Hamilton 的幾何語言。 它們描述同樣的物理，但就像同一個故事用三種文體寫出——有的適合計算，有的適合看清結構。 這一章用一個簡單的例子，讓你親眼看到三種寫法的差異。

淺顯說明#

想像一顆蘋果從樹上掉下來：

  • Newton 說：「有一個力 \(\vec F = m\vec g\) 拉著它，所以它以加速度 \(\vec g\) 落下。」——主角是力。
  • Lagrange 說：「蘋果的動能減位能是 \(L = T - V\) ，讓這個量沿著路徑『最省』的路，就是真實路徑。」——主角是作用量。
  • Hamilton 說：「蘋果的狀態是（位置, 動量），它的總能量 \(H = T + V\) 會告訴你狀態怎麼隨時間流動。」——主角是能量與相空間。

三者完全等價：算出來的蘋果軌跡一模一樣。但 Hamilton 的寫法最能「顯露結構」—— 辛幾何、混沌、量子力學，都是從這裡長出來的。

正規理論#

Newton 形式#

質點的運動由二階向量方程決定：

\[ m \ddot{\vec r} = \vec F(\vec r, \dot{\vec r}, t) \]

給定初始位置 \(\vec r(t_0)\) 與初速度 \(\dot{\vec r}(t_0)\) ，解即唯一（在良好條件下）。

Lagrange 形式#

選定廣義座標 \(q = (q_1, \dots, q_n)\) ，定義 Lagrangian

\[ L(q, \dot q, t) = T(q, \dot q, t) - V(q, t) \]

真實軌跡是作用量泛函

\[ S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot q, t)\, dt \]

的駐定點（ \(\delta S = 0\) ），由此得 Euler–Lagrange 方程：

\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0, \qquad i = 1, \dots, n \]

Hamilton 形式#

定義廣義動量 \(p_i = \dfrac{\partial L}{\partial \dot q_i}\) ，並經 Legendre 變換得到哈密頓量：

\[ H(q, p, t) = \sum_i p_i \dot q_i - L \]

運動方程化為 \(2n\) 條一階方程（正則方程）：

\[ \dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} \]

三者的等價性（簡證）#

由 \(H = \sum p_i \dot q_i - L\) 取偏導：

\[ \frac{\partial H}{\partial p_i} = \dot q_i + \sum_j p_j \frac{\partial \dot q_j}{\partial p_i} - \sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot q_j}\frac{\partial \dot q_j}{\partial p_i} = \dot q_i \]

因為 \(p_j = \partial L / \partial \dot q_j\) ，後兩項相消。同理

\[ \frac{\partial H}{\partial q_i} = -\frac{\partial L}{\partial q_i} = -\dot p_i \]

正好就是正則方程。所以 Hamilton 形式 ⇔ Lagrange 形式 ⇔ Newton 形式。

簡易範例：一維自由質點#

自由質點（無力， \(V = 0\) ）：

  • Newton： \(m\ddot x = 0 \Rightarrow x(t) = x_0 + v_0 t\) 。
  • Lagrange： \(L = \frac{1}{2}m\dot x^2\) ，Euler–Lagrange 給 \(\frac{d}{dt}(m\dot x) = 0\) ，同樣結果。
  • Hamilton： \(p = m\dot x\) ， \(H = \dfrac{p^2}{2m}\) ，正則方程：
\[ \dot x = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \qquad \dot p = -\frac{\partial H}{\partial x} = 0 \]

所以 \(p\) 永遠不變（動量守恆）， \(x\) 均勻前進。

三條路，同一個答案： \(x(t) = x_0 + \dfrac{p_0}{m}t\) 。

歷史典故#

習題#

  1. 一維諧振子 \(V = \frac{1}{2}kx^2\) ，分別用三種形式寫出運動方程，並驗證等價。
  2. 證明：若 \(L\) 不顯含時間，則 \(H = \sum p_i\dot q_i - L\) 也不顯含時間。