01.2 相空間與狀態#

淺顯說明#

Newton 力學問：「物體在哪裡、跑多快？」Hamilton 力學把這兩個答案綁成一對，叫作狀態 \((q, p)\) ——位置與動量。

把所有可能的狀態畫成一張大地图，縱軸是動量 \(p\) 、橫軸是位置 \(q\) ，這張圖叫相空間。一個系統的歷史，就是相空間裡的一條曲線（軌跡）。

有個好玩的想像：相空間像一座遊樂園，每個狀態是一台旋轉木馬上的座位； Hamilton 的方程就是「旋轉的規則」，告訴你下一刻會轉到哪個座位。而这座遊樂園有個奇妙的性質：面積不會變（後面會看到，這叫辛結構）。

正規理論#

相空間的定義#

\(n\) 自由度系統的相空間是 \(2n\) 維流形 \(\Gamma = \{(q_1,\dots,q_n, p_1,\dots,p_n)\}\) 。系統在時刻 \(t\) 的完整資訊由一點 \(x(t) = (q(t), p(t)) \in \Gamma\) 給出。

正則方程的向量形式#

定義哈密頓向量場

\[ X_H = \sum_i \left( \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p_i} \right) \]

則正則方程可寫成

\[ \dot x = X_H(x) \]

或用矩陣記號（辛矩陣 \(J\) ）：

\[ \dot x = J \nabla H, \qquad J = \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix} \]

其中 \(I\) 是 \(n \times n\) 單位矩陣。

辛面積守恆#

相空間上有天然的辛 2-形式：

\[ \omega = \sum_i dq_i \wedge dp_i \]

Hamilton 流保持 \(\omega\) 不變： \(\varphi_t^* \omega = \omega\) （ \(\varphi_t\) 是時間 \(t\) 的流）。在二維情形（一個自由度），這意味著：相空間中任一區域沿軌跡流動時，面積不變。這是 Liouville 定理的幾何核心，也是後世「辛積分器」的理論根據。

軌跡不相交#

正則方程是初值問題，解唯一，所以相空間中過同一點的軌跡只有一條—— 軌跡永不相交（除了駐定點 \(X_H = 0\) ，即平衡點）。

簡易範例：諧振子的相圖#

一維諧振子 \(H = \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{1}{2}kq^2\) 。能量 \(E\) 固定時：

\[ \frac{p^2}{2m} + \frac{kq^2}{2} = E \quad\Longrightarrow\quad \frac{q^2}{2E/k} + \frac{p^2}{2mE} = 1 \]

這是 \((q, p)\) 平面上的橢圓！所以諧振子的相圖是一圈圈同心橢圓，每個橢圓對應一個能量值。能量越高，橢圓越大。振子沿橢圓轉一圈，正好是一個振動週期。

橢圓所圍的面積（用 Gauss 面積公式）：

\[ A = \pi \sqrt{\frac{2E}{k}} \cdot \sqrt{2mE} = 2\pi E\sqrt{\frac{m}{k}} = \frac{2\pi E}{\omega_0} \]

其中 \(\omega_0 = \sqrt{k/m}\) 。面積正比於能量——這正是「作用量–角變數」的雛形（面積 \(/2\pi\) 就是作用量 \(J = E/\omega_0\) ）。

歷史典故#

相空間概念的誕生見 1834-Hamilton正則方程.md。
「面積守恆」在百年後由 Poincaré 發揚光大，導致混沌的發現，見 1890-Poincare三體問題.md。
為了在電腦上保住這個面積，1983 年誕生了辛積分器，見 1983-辛積分器.md。

習題#

畫出自由質點 \(H = p^2/2m\) 的相圖（提示： \(\dot p = 0\) ，軌跡是水平線）。
驗證諧振子的作用量 \(J = E/\omega_0\) ：沿橢圓計算 \(\oint p\,dq\) 並除以 \(2\pi\) 。