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02.1 哈密頓量的定義#

淺顯說明#

哈密頓量 \(H\) 聽起來很玄，其實在大多數情況下它就是總能量：

\[ H = \text{動能} + \text{位能} \]

但它有一個關鍵的要求：必須用位置和動量來寫，不能用速度。 所以「 \(\frac{1}{2}mv^2\) 」要改寫成「 \(\frac{p^2}{2m}\) 」。

為什麼要換成動量？因為動量和位置是「天生一對」——它們在正則方程裡地位對稱、 可以互相交換角色（正則變換），這種對稱性正是哈密頓力學威力的來源。

把 \(H\) 想成一個「能量計分板」：系統每走到一個狀態 \((q,p)\) ， 計分板上就顯示一個數字 \(H(q,p)\) 。而這個計分板的斜率（偏導數）， 就告訴你系統往哪裡走。

正規理論#

Legendre 變換#

給定 Lagrangian \(L(q, \dot q)\) ，廣義動量為

\[ p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot q_i} \]

哈密頓量由 Legendre 變換定義：

\[ H(q, p) = \sum_{i=1}^n p_i \dot q_i - L(q, \dot q) \]

其中 \(\dot q_i\) 需由 \(p_i = \partial L/\partial \dot q_i\) 反解出來（要求 \(L\) 對 \(\dot q\) 的 Hessian 非退化，即 \(\det \frac{\partial^2 L}{\partial \dot q_i \partial \dot q_j} \neq 0\) ）。

幾何詮釋#

Legendre 變換就是把函數換成它的「對偶」：直線 \(y = px - H\) 是曲線 \(L(\dot q)\) 的支撐線， \(H(p)\) 是截距。這與凸函數理論、熱力學的焓與自由能，都是同一套數學。

能量守恆#

沿軌跡對時間求 \(H\) 的全導數：

\[ \frac{dH}{dt} = \sum_i \left( \frac{\partial H}{\partial q_i}\dot q_i + \frac{\partial H}{\partial p_i}\dot p_i \right) + \frac{\partial H}{\partial t} = \sum_i \left( \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} \right) + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} \]

中間兩項完美相消！所以：

\[ \boxed{\; H \text{ 不顯含時間} \;\Longleftrightarrow\; H = \text{常數（能量守恆）} \;} \]

這是哈密頓力學的第一個免費禮物：能量守恆不需要外力做功分析，只是正則方程的直接推論。

Poisson 括號#

定義兩個相空間函數的 Poisson 括號：

\[ \{f, g\} = \sum_i \left( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i} \right) \]

則任何物理量 \(f(q,p)\) 的演化都可寫成

\[ \dot f = \{f, H\} \]

特別地，正則方程就是 \(\dot q = \{q, H\}\) 、 \(\dot p = \{p, H\}\) ——整個力學只剩一條規則。

簡易範例：自由落體#

質量 \(m\) 的石頭，高度 \(h\) ，動量 \(p = m\dot h\) ：

\[ H = \frac{p^2}{2m} + mgh \]

檢查能量守恆： \(H\) 不含 \(t\) ，所以 \(H\) 是常數。驗證 Poisson 括號：

\[ \dot h = \{h, H\} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \qquad \dot p = \{p, H\} = -\frac{\partial H}{\partial h} = -mg \]

正是重力。而且 \(H = \frac{1}{2}mv^2 + mgh\) 沿軌跡不變——機械能守恆。

歷史典故#

  • Hamilton 在 1834 年的論文中稱 \(H\) 為「特徵函數」（force function），見 1835-Hamilton特徵函數.md——他從光學的費馬原理類比出來。
  • 「能量守恆為何成立」的深層答案是 Noether 定理：時間平移對稱 ⇔ 能量守恆，見 1918-Noether定理.md。

習題#

  1. 質點在重力場斜面上滑動，寫出其哈密頓量（用沿斜面座標 \(s\) ）。
  2. 證明 \(\{q_i, p_j\} = \delta_{ij}\) 、 \(\{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0\) （正則對易關係的古典版本）。
  3. 用 \(\dot f = \{f, H\}\) 計算動能 \(T = p^2/2m\) 在自由落體中的變化率，並與功率 \(Fv\) 比較。