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02.2 正則方程#

淺顯說明#

哈密頓給了兩條漂亮的方程式：

\[ \dot q = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \dot p = -\frac{\partial H}{\partial q} \]

用白話說：

  • 第一條：動量怎麼來？看 \(H\) 對動量的斜率。通常它就是速度 \(v = p/m\) 。
  • 第二條：動量往哪推？看 \(H\) 對位置的斜率，加個負號。通常它就是力 \(F\) 。

奇妙的是這兩條方程形式完全對稱：把 \((q, p)\) 互換、轉個方向，方程長得一模一樣。 就像照鏡子。Newton 的方程 \(\vec F = m\vec a\) 沒有這種對稱（力是向量、加速度是二階導數，地位不對等）， 但 Hamilton 的方程有—— \(q\) 和 \(p\) 是平等的舞伴。

還有一個實用好處：Newton 方程是二階的（要兩個初始條件），Hamilton 方程是一階的（ \(2n\) 條一階方程）。 一階方程組最適合交給電腦數值積分——這也是後世辛積分器誕生的原因。

正規理論#

正則方程（一般形式）#

\(n\) 自由度系統：

\[ \dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}, \qquad i = 1, \dots, n \]

這是 \(2n\) 條一階常微分方程，初值 \((q(t_0), p(t_0))\) 唯一決定解。

從 Euler–Lagrange 方程推導#

從 \(L(q,\dot q)\) 出發。全導數

\[ \frac{dH}{dt} = \sum_i \left( \dot p_i \dot q_i + p_i \ddot q_i - \frac{\partial L}{\partial q_i}\dot q_i - \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\ddot q_i \right) \]

由 \(p_i = \partial L/\partial \dot q_i\) ，第 2、4 項相消，得

\[ \frac{dH}{dt} = \sum_i (\dot p_i - \frac{\partial L}{\partial q_i}) \dot q_i = 0 \]

（最後一步用 Euler–Lagrange 方程 \(\dot p_i = \partial L/\partial q_i\) 。） \(H\) 沿軌跡為常數，故可視為 \((q,p)\) 的函數，對其取偏導並比較係數即得正則方程。

相空間的流是辛的#

正則方程的解定義了相空間上的流 \(\varphi_t\) 。它的 Jacobian \(D\varphi_t\) 滿足

\[ (D\varphi_t)^\mathsf T J\, (D\varphi_t) = J \]

即 \(\varphi_t\) 是辛映射（symplectic map）。直接後果：

  • 相體積守恆（Liouville 定理）： \(\det D\varphi_t = 1\) 。
  • 週期軌道附近不會「擠壓變形」，面積只能在剪切中守恆。

平衡點與穩定性#

平衡點 \(x^*\) 滿足 \(X_H(x^*) = 0\) ，即

\[ \frac{\partial H}{\partial p_i}(x^*) = 0, \qquad \frac{\partial H}{\partial q_i}(x^*) = 0 \]

線性化後的矩陣是 Hamilton 矩陣： \(A = J \cdot \text{Hess}\,H(x^*)\) ， 其特徵值成 \(\pm\lambda\) 對出現。所以哈密頓系統的平衡點要嘛橢圓型（穩定，特徵值是純虛數）， 要嘛雙曲型（不穩定，特徵值是實數對）——不會有「半穩定」。 這解釋了為何保守系統沒有「阻尼收斂到平衡」的行為。

簡易範例：單擺#

單擺（擺長 \(\ell\) ，質量 \(m\) ，角度 \(\theta\) ）：

\[ H = \frac{p_\theta^2}{2m\ell^2} + mg\ell(1 - \cos\theta) \]

正則方程：

\[ \dot\theta = \frac{\partial H}{\partial p_\theta} = \frac{p_\theta}{m\ell^2}, \qquad \dot p_\theta = -\frac{\partial H}{\partial \theta} = -mg\ell\sin\theta \]

合成一條： \(m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta\) ，正是單擺方程！

相圖解讀： - 低能量 \(E < 2mg\ell\) ：軌跡是閉合曲線（橢圓狀）——來回擺動，振盪區。 - 高能量 \(E > 2mg\ell\) ：軌跡不閉合——轉圈圈，旋轉區。 - \(E = 2mg\ell\) 正好是分界線，叫分界線（separatrix）， \(\theta = \pi\) （倒立點）是雙曲型平衡點——不穩定。

歷史典故#

習題#

  1. 寫出二維諧振子（兩個方向彈簧常數 \(k_x, k_y\) ）的正則方程，並證明 \(H\) 守恆。
  2. 求單擺分界線上的能量，並說明為何倒立點是不穩定平衡。
  3. 證明：若 \(H\) 是 \(\dot q\) 的二次函數（標準力學系統），則正則方程等價於 Newton 方程。