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02.3 簡易範例：自由落體與單擺#

淺顯說明#

理論學完了，這一節動手算兩個最經典的例子。 把每一步都想成「照食譜做菜」：

  1. **寫出 \(H\) **：動能 + 位能，但要把速度換成動量 \(p = mv\) 。
  2. 套正則方程：對 \(p\) 微分得 \(\dot q\) 、對 \(q\) 微分加負號得 \(\dot p\) 。
  3. 解出來：通常是積分，或直接驗證猜測的解。

範例一：自由落體#

題目#

質量 \(m = 1\) kg 的石頭從 \(h_0 = 20\) m 自由落下， \(g = 10\) m/s²。 用哈密頓力學求落地時間。

第 1 步：寫出哈密頓量#

\[ H(h, p) = \frac{p^2}{2m} + mgh \]

第 2 步：正則方程#

\[ \dot h = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}, \qquad \dot p = -\frac{\partial H}{\partial h} = -mg \]

第 3 步：求解#

\(\dot p = -mg\) 直接積分： \(p(t) = -mgt\) （初速為零）。 代入 \(\dot h = p/m = -gt\) ，再積分：

\[ h(t) = h_0 - \frac{1}{2}gt^2 \]

落地： \(h(t) = 0 \Rightarrow t = \sqrt{2h_0/g} = \sqrt{40/10} = 2\) 秒。

驗證：能量守恆#

\[ H = \frac{(-mgt)^2}{2m} + mg\left(h_0 - \frac{gt^2}{2}\right) = \frac{mgt^2}{2} + mgh_0 - \frac{mgt^2}{2} = mgh_0 \]

\(t\) 完全消掉！ \(H = mgh_0 = 200\) J 恆定不變，動能與位能互相轉換、總和不變。

範例二：單擺的小振盪#

題目#

擺長 \(\ell = 1\) m、質量 \(m = 1\) kg 的單擺，小幅擺動， \(g = 10\) m/s²。 用哈密頓力學求週期。

第 1 步：寫出哈密頓量#

\[ H(\theta, p_\theta) = \frac{p_\theta^2}{2m\ell^2} + mg\ell(1 - \cos\theta) \]

第 2 步：小角度近似#

小幅擺動時 \(\cos\theta \approx 1 - \theta^2/2\) ，所以

\[ H \approx \frac{p_\theta^2}{2m\ell^2} + \frac{mg\ell}{2}\theta^2 \]

這和諧振子 \(H = \frac{p^2}{2m} + \frac{kx^2}{2}\) 形式完全一樣，只要認出：

  • 「質量」 \(= m\ell^2\) （轉動慣量）
  • 「彈簧常數」 \(= mg\ell\)

第 3 步：套諧振子公式#

正則方程：

\[ \dot\theta = \frac{p_\theta}{m\ell^2}, \qquad \dot p_\theta = -mg\ell\,\theta \]

合成 \(m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\,\theta\) ，即 \(\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\theta\) 。 這是簡諧運動，角頻率與週期：

\[ \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}} = \sqrt{10} \approx 3.16 \text{ rad/s}, \qquad T = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}} \approx 1.99 \text{ s} \]

驗證：相圖是橢圓#

能量 \(E\) 固定：

\[ \frac{p_\theta^2}{2m\ell^2} + \frac{mg\ell}{2}\theta^2 = E \]

在 \((\theta, p_\theta)\) 平面上是橢圓。半軸長：

\[ \theta_{\max} = \sqrt{\frac{2E}{mg\ell}}, \qquad p_{\max} = \sqrt{2m\ell^2 E} \]

振子沿橢圓等速（就作用量而言）轉圈，轉一圈正好一個週期 \(T\) 。

歷史典故#

習題#

  1. 彈簧振子 \(m = 1\) kg、 \(k = 4\) N/m，寫出 \(H\) 與正則方程，求週期。
  2. 自由落體中，用 \(\dot T = \{T, H\}\) 證明動能變化率是 \(mg^2t\) （即功率 \(Fv\) ）。
  3. 單擺小幅擺動中，證明相空間橢圓面積 \(= 2\pi E/\omega_0\) （作用量與能量成正比）。