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03.1 最小作用量原理#

淺顯說明#

大自然有個驚人的習慣：它總是走「最划算」的路。

光走最短時間的路（費馬原理）； 拋出去的球走的路，讓一個叫「作用量」的量最小（或精確說：不變）。

什麼是作用量？把每一刻的「動能減位能」加總起來：

\[ S = \int (T - V)\, dt \]

為什麼是「減」不是「加」？直觀想像：動能是「跑得快的獎勵」，位能是「爬得高的代價」。 大自然在「跑快」與「少爬高」之間找平衡，平衡點就是真實路徑。

這聽起來像魔法：物體怎麼「知道」哪條路最省？它又不能先試走一遍！ 這正是幾百年來哲學家與物理學家爭論的焦點——而答案要到量子力學才揭曉： 粒子其實同時走所有路，只是非最省的路互相抵消（見第 5 章）。

正規理論#

變分問題#

設路徑 \(q(t)\) ， \(t \in [t_1, t_2]\) ，端點固定 \(q(t_1) = q_1\) ， \(q(t_2) = q_2\) 。 定義作用量泛函：

\[ S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot q, t)\, dt, \qquad L = T - V \]

最小作用量原理（Hamilton 原理）：真實路徑是 \(S\) 的駐定點：

\[ \delta S = 0 \]

推導 Euler–Lagrange 方程#

考慮變分 \(q(t) \to q(t) + \epsilon\,\eta(t)\) ，其中 \(\eta(t_1) = \eta(t_2) = 0\) 。則

\[ \delta S = \epsilon \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q}\eta + \frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot\eta \right) dt \]

對第二項分部積分：

\[ \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot\eta\, dt = \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot q}\eta \right]_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\,\eta\, dt = -\int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}\,\eta\, dt \]

（邊界項因 \(\eta(t_1) = \eta(t_2) = 0\) 消失。）所以

\[ \delta S = \epsilon \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) \eta\, dt \]

\(\eta\) 是任意函數，要 \(\delta S = 0\) 對所有 \(\eta\) 成立，唯一可能是被積函數恆為零：

\[ \boxed{\; \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 \;} \]

這就是 Euler–Lagrange 方程。它是一條二階微分方程——與 Newton 方程同階， 但它是從「一個純量原理」推導出來的，結構更漂亮。

精確說：不是「最小」是「駐定」#

\(\delta S = 0\) 只要求一階變分為零， \(S\) 可以是極小、極大或鞍點。 例如諧振子的短時間路徑是極小，但時間超過半週期後就變成鞍點。 所以嚴格的名稱是「駐定作用量原理」，「最小」只是歷史沿用。

簡易範例：拋體#

質點在重力場中， \(L = \frac{1}{2}m(\dot x^2 + \dot y^2) - mgy\) 。

**對 \(x\) **： \(\frac{\partial L}{\partial x} = 0\) ， \(\frac{\partial L}{\partial \dot x} = m\dot x\) ，所以

\[ \frac{d}{dt}(m\dot x) = 0 \Rightarrow \dot x = v_x \text{（常數）} \]

**對 \(y\) **： \(\frac{\partial L}{\partial y} = -mg\) ， \(\frac{\partial L}{\partial \dot y} = m\dot y\) ，所以

\[ \frac{d}{dt}(m\dot y) = -mg \Rightarrow \ddot y = -g \]

正是拋體運動！水平等速、垂直加速——從一個純量原理自動流出。

歷史典故#

習題#

  1. 用 Euler–Lagrange 方程推導一維諧振子 \(L = \frac{1}{2}m\dot x^2 - \frac{1}{2}kx^2\) 的運動方程。
  2. 證明：若 \(L\) 不顯含某座標 \(q_j\) （循環座標），則對應動量 \(p_j\) 守恆。
  3. 自由質點從 \(A\) 到 \(B\) ，證明直線路徑的作用量最小（提示：任何彎曲路徑的 \(\int \dot x^2 dt\) 更大）。