03.2 Euler–Lagrange 方程的更多應用#

淺顯說明#

上一節推導了 Euler–Lagrange 方程，這一節練習「照食譜做菜」的通用流程：

選座標：找到描述系統最省力的廣義座標 \(q\) （角度？長度？面積？）。
**寫 \(T\) 和 \(V\) **：用這個座標表達動能與位能。
**組成 \(L = T - V\) **。
套方程： \(\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot q} - \dfrac{\partial L}{\partial q} = 0\) 。

好用在哪？Newton 方法要處理「約束力」（繩子的張力、軌道的正向力），這些力常常未知、又不必求——用 Lagrange 方法它們自動消失，因為我們直接在「允許的運動方向」上寫方程。

還有一個神奇現象：如果某個座標在 \(L\) 中完全不見（只出現它的導數 \(\dot q\) ），那對應的動量自動守恆。這叫「循環座標」，是守恆律的第一個線索（Noether 定理的預告）。

若 \(L(q, \dot q, t)\) 不顯含 \(q_j\) （即 \(\dfrac{\partial L}{\partial q_j} = 0\) ），則 Euler–Lagrange 方程給出

\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_j} = 0 \quad\Longrightarrow\quad p_j = \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} = \text{常數} \]

所以：座標的平移對稱 ⇔ 動量守恆；角度的旋轉對稱 ⇔ 角動量守恆。這是 Noether 定理在最簡單情形的具體表現。

\(p_j = \partial L / \partial \dot q_j\) 不一定是 \(mv\) ：

直角座標下： \(p = mv\) （普通動量）。
角度座標 \(\theta\) 下： \(p_\theta = \partial L/\partial\dot\theta = I\dot\theta\) （角動量， \(I\) 是轉動慣量）。
一般座標下：它是「共軛動量」，幾何意義由相空間給出。

\(n\) 個廣義座標 \(q_1, \dots, q_n\) ，動能一般形式：

\[ T = \frac{1}{2}\sum_{i,j} M_{ij}(q)\,\dot q_i \dot q_j, \qquad V = V(q) \]

其中 \(M_{ij}\) 是（依賴座標的）質量矩陣。Euler–Lagrange 方程成為

\[ \sum_j M_{ij}(q)\,\ddot q_j + \sum_{j,k} \Gamma_{ijk}(q)\,\dot q_j \dot q_k + \frac{\partial V}{\partial q_i} = 0 \]

其中 \(\Gamma_{ijk}\) 是由 \(M_{ij}\) 的導數構成的「克里斯托費爾符號」—— 沒錯，和廣義相對論用的是同一套數學！曲線座標的「慣性力」（離心力、科氏力）都藏在 \(\Gamma_{ijk}\) 裡。

單擺的擺錘其實在 3D 空間運動，但被繩子約束在半徑 \(\ell\) 的圓弧上。用 Newton 方法要算繩子張力；用 Lagrange 方法，直接選角度 \(\theta\) 當座標：

\[ T = \frac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2, \qquad V = mg\ell(1 - \cos\theta) \]

\[ L = \frac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2 - mg\ell(1 - \cos\theta) \]

套方程：

\[ \frac{\partial L}{\partial \dot\theta} = m\ell^2\dot\theta, \qquad \frac{\partial L}{\partial \theta} = -mg\ell\sin\theta \]

\[ \frac{d}{dt}(m\ell^2\dot\theta) + mg\ell\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta \]

兩行就出來了，繩子張力從頭到尾沒出現。

質點在光滑圓錐面（半頂角 \(\alpha\) ）上滑動，選座標 \((r, \phi)\) （ \(r\) 沿錐面、 \(\phi\) 是方位角）：

\[ L = \frac{1}{2}m\left( \dot r^2 + r^2\sin^2\alpha\,\dot\phi^2 \right) - mgr\cos\alpha \]

關鍵觀察： \(L\) 不顯含 \(\phi\) （旋轉對稱！），所以

\[ p_\phi = m r^2 \sin^2\alpha\, \dot\phi = \text{常數（角動量守恆）} \]

這一條守恆律直接把 \(\dot\phi\) 用 \(r\) 表示，二維問題瞬間降成一維—— 守恆律就是「免費的降維工具」。

質點在光滑球面內側滑動（半徑 \(R\) ），選 \((\theta, \phi)\) 座標，寫出 \(L\) 並找出守恆量。
證明：二維各向同性諧振子 \(L = \frac{1}{2}m(\dot x^2 + \dot y^2) - \frac{1}{2}k(x^2+y^2)\) 中，換成極座標後 \(\phi\) 是循環座標，對應角動量守恆。
圓錐擺中，用 \(p_\phi\) 守恆把系統降成一維，寫出「有效位能」 \(V_{\text{eff}}(r)\) 。