04.1 能量守恆與 Noether 定理#

淺顯說明#

前面我們「算出」了能量守恆——但為什麼能量會守恆？

1918 年，Emmy Noether 給出了驚人的答案：每一個守恆律，背後都有一個對稱性。

用白話想像：如果物理定律會隨時間改變（今天重力強、明天重力弱），那就可以「在重力弱時把東西抬高、重力強時讓它落下」，憑空賺取能量—— 能量就不守恆了。所以能量守恆正是「定律不隨時間變」的代價與證明。

這是理論物理最深刻的定理之一：它把「對稱」與「守恆」畫上等號，而這條等號在量子場論中仍然是地基。

設 \(L(q, \dot q, t)\) ，若存在無窮小變換

\[ q_i \to q_i + \epsilon\, \xi_i(q, t), \qquad t \to t + \epsilon\, \tau(q, t) \]

使作用量不變（至一階）： \(\delta L = \dfrac{dF}{dt}\) （ \(F\) 是某函數，稱「規範項」），則存在守恆量

\[ Q = \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\left( \xi_i - \dot q_i \tau \right) + L\tau - F = \text{常數} \]

時間平移（ \(\tau = 1\) ， \(\xi = 0\) ， \(F = 0\) ）：

\[ Q = -\sum_i p_i \dot q_i + L = -H \quad\Longrightarrow\quad H = \text{常數（能量守恆）} \]

空間平移（一維， \(\xi = 1\) ， \(\tau = 0\) ）：

\[ Q = p = \text{常數（動量守恆）} \]

旋轉（平面，角度 \(\phi \to \phi + \epsilon\) ，即 \(\xi_\phi = 1\) ）：

\[ Q = p_\phi = \text{常數（角動量守恆）} \]

在 Hamilton 力學中，Noether 定理有更對稱的樣貌。若變換由函數 \(G(q,p)\) 生成，則該變換改變 \(H\) 的量是

\[ \delta H = \epsilon\, \{H, G\} \]

所以：

\[ \{H, G\} = 0 \;\Longleftrightarrow\; G \text{ 是對稱性} \;\Longleftrightarrow\; \dot G = \{G, H\} = 0 \;\Longleftrightarrow\; G \text{ 守恆} \]

對稱性與守恆量是同一件事的兩面，因為 Poisson 括號反對稱： \(\{H, G\} = -\{G, H\}\) 。哈密頓形式的漂亮之處在此徹底顯露。

沿軌跡：

\[ \frac{dH}{dt} = \{H, H\} + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t} \]

Poisson 括號 \(\{H, H\} = 0\) （反對稱），所以 \(H\) 不顯含 \(t\) 時必然守恆。

範例一：重力場中的拋體

\(L = \frac{1}{2}m(\dot x^2 + \dot y^2) - mgy\) 。

守恆與否，完全由對稱性決定。

範例二：用兩個守恆量解拋體

拋體初速 \((v_x, v_y)\) 。由 \(p_x\) 守恆： \(\dot y(t)\) 之外的水平速度不變。由 \(H\) 守恆：

\[ \frac{1}{2}m\dot y^2 + mgy = \frac{1}{2}mv_y^2 \quad(\text{在最高點用 } \dot y \text{ 表達}) \]

最高點 \(\dot y = 0\) ： \(y_{\max} = \dfrac{v_y^2}{2g}\) 。全程不用解微分方程—— 守恆律就是捷徑。

Noether 定理的完整故事見 1918-Noether定理.md——Noether 在 Göttingen 因女性身分長期無正式教職，卻寫出物理學最深的定理之一。
循環座標的守恆（第 3 章預告）正是 Noether 定理的特例。
時間平移對稱破壞的例子（宇宙膨脹、耗散系統）中，能量確實不再守恆——定理兩面都成立。