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04.2 正則變換與 Hamilton–Jacobi 方程#

淺顯說明#

哈密頓力學最強的招式：換座標。

正則方程對「好的座標」特別友善——如果有一種座標，讓 \(H\) 變得極度簡單 （比如只依賴其中一半變數），那運動方程就能全部積出來，一步到位。

什麼是「好的座標」？想像相空間是一座迷宮，軌跡是迷宮裡的路。 正則變換就是「把迷宮重新擺放」，但不破壞地形（辛結構不變、面積不變）。 最好的擺法，讓所有軌跡都變成直線——那迷宮就解開了。

Hamilton–Jacobi 方程就是「找到最好擺法」的配方。Jacobi 在 1837 年證明： 只要解出一個偏微分方程，整個力學系統就「完全積分」—— 不用一步一步積分運動方程，而是直接寫出解。

正規理論#

正則變換#

相空間上的變換 \((q, p) \to (Q, P)\) 若保持正則方程的形式不變，稱正則變換。 判別條件（保持辛形式）：

\[ \sum_i dq_i \wedge dp_i = \sum_i dQ_i \wedge dP_i \]

等價地，用 Poisson 括號：

\[ \{Q_i, P_j\} = \delta_{ij}, \qquad \{Q_i, Q_j\} = 0, \qquad \{P_i, P_j\} = 0 \]

正則變換下，新座標 \((Q, P)\) 仍滿足正則方程：

\[ \dot Q = \frac{\partial K}{\partial P}, \qquad \dot P = -\frac{\partial K}{\partial Q} \]

其中新哈密頓量 \(K(Q, P, t) = H(q(Q,P), p(Q,P), t) + \dfrac{\partial F}{\partial t}\) （ \(F\) 是生成函數）。

生成函數#

正則變換由生成函數 \(F\) 構造。以 \(F_1(q, Q, t)\) 為例：

\[ p_i = \frac{\partial F_1}{\partial q_i}, \qquad P_i = -\frac{\partial F_1}{\partial Q_i}, \qquad K = H + \frac{\partial F_1}{\partial t} \]

策略：選 \(F_1\) 使新哈密頓量 \(K = K(P)\) 只依賴動量。則

\[ \dot Q_i = \frac{\partial K}{\partial P_i} = \omega_i(P) = \text{常數}, \qquad \dot P_i = 0 \]

直接積分： \(Q_i(t) = Q_i(0) + \omega_i t\) ， \(P_i(t) = P_i(0)\) ——運動完全解出！

Hamilton–Jacobi 方程#

問題變成：怎麼找到這個 \(F_1\) ？Hamilton 與 Jacobi 發現， \(F_1\) 滿足一個偏微分方程。

設 \(S(q, \alpha, t)\) 為生成函數（ \(\alpha\) 是 \(n\) 個常數參數），要求 \(K = 0\) ，即

\[ H\left( q, \frac{\partial S}{\partial q}, t \right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \]

這就是 Hamilton–Jacobi 方程（HJ 方程）。其中 \(\partial S/\partial q = p\) 。

完全積分#

若能找到 HJ 方程的完全積分 \(S(q, \alpha, t)\) （含 \(n\) 個獨立常數 \(\alpha\) ， 且 \(\det \frac{\partial^2 S}{\partial q_i \partial \alpha_j} \neq 0\) ），則令新動量 \(P_i = \alpha_i\) ， 新座標由

\[ \beta_i = \frac{\partial S}{\partial \alpha_i} \]

給出（ \(\beta_i\) 也是常數）。於是運動方程的解隱含在 \(S\) 裡：

\[ q_i = q_i(\alpha, \beta, t) \]

力學化成了解一個 PDE——這是哈密頓力學的巔峰。

與波動力學的橋樑#

HJ 方程的形式 \(H(q, \nabla S) + \partial_t S = 0\) 與幾何光學的波前方程完全一樣： \(S\) 就像「波前相位」， \(p = \nabla S\) 垂直於波前。 Hamilton 早就注意到這個光學–力學類比，百年後 Schrödinger 從這裡走出量子力學（見第 5 章）。

簡易範例：自由質點#

一維自由質點 \(H = \dfrac{p^2}{2m}\) 。HJ 方程：

\[ \frac{1}{2m}\left( \frac{\partial S}{\partial q} \right)^2 + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \]

猜解 \(S(q, \alpha, t) = \alpha q - \dfrac{\alpha^2}{2m}t\) 。驗證：

\[ \frac{1}{2m}\alpha^2 - \frac{\alpha^2}{2m} = 0 \checkmark \]

完全積分到手。動量與位置：

\[ p = \frac{\partial S}{\partial q} = \alpha, \qquad \beta = \frac{\partial S}{\partial \alpha} = q - \frac{\alpha}{m}t \]

所以 \(q(t) = \beta + \dfrac{\alpha}{m}t\) ——正是勻速直線運動， \(\alpha\) 是動量、 \(\beta\) 是初始位置。

簡易範例：諧振子#

一維諧振子 \(H = \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{1}{2}m\omega^2 q^2\) （ \(\omega = \sqrt{k/m}\) ）。HJ 方程：

\[ \frac{1}{2m}\left( \frac{\partial S}{\partial q} \right)^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \]

分離變數：設 \(S(q, \alpha, t) = W(q, \alpha) - Et\) （ \(E = \alpha\) 是能量），得

\[ \frac{1}{2m}\left( \frac{dW}{dq} \right)^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 q^2 = E \quad\Longrightarrow\quad \frac{dW}{dq} = \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2} \]

積分（令 \(q = \sqrt{2E/(m\omega^2)}\sin\theta\) ）：

\[ W = \int \sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2}\, dq = \frac{E}{\omega}\left( \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta \right) \]

其中 \(\theta = \arcsin\!\left( q\sqrt{\dfrac{m\omega^2}{2E}} \right)\) 。

新座標 \(\beta = \partial S/\partial E\) 是常數，解出 \(\theta\) 隨時間線性前進：

\[ \theta(t) = \omega t + \text{常數} \quad\Longrightarrow\quad q(t) = \sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}}\sin(\omega t + \text{常數}) \]

正是簡諧運動！而且注意：作用量 \(W\) 的係數是 \(E/\omega\) ——這正是第 1 章相圖橢圓面積除以 \(2\pi\) 的那個「作用量變數」。

歷史典故#

習題#

  1. 驗證 \(S(q, \alpha, t) = \alpha q - \frac{\alpha^2}{2m}t\) 是自由質點 HJ 方程的完全積分 （檢查 \(\det \frac{\partial^2 S}{\partial q \partial \alpha} \neq 0\) ）。
  2. 一維自由落體 \(H = \frac{p^2}{2m} + mgq\) ，用分離變數解 HJ 方程，並還原 \(q(t) = q_0 + v_0 t - \frac{1}{2}gt^2\) 。
  3. 證明：正則變換的複合仍是正則變換（用 Poisson 括號條件）。