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05.2 通往量子力學之路#

淺顯說明#

哈密頓力學的結局，是變成量子力學的起點。

1925 年，Heisenberg 看著正則方程，做了一件瘋狂的事：把 \(q\) 和 \(p\) 從「數字」換成「矩陣」——然後發現 \([q, p] = i\hbar\) （乘法不交換！） 居然可以取代整個正則方程。矩陣力學誕生。

1926 年，Schrödinger 從 Hamilton–Jacobi 方程出發：他把作用量 \(S\) 換成 \(\hbar \ln\psi\) （相位變成波函數的對數），HJ 方程搖身一變成為 波動方程。波動力學誕生。

1948 年，Feynman 直接回答了第 3 章留下的謎題：「粒子怎麼知道哪條路徑最省？」 答案：它同時走所有路徑，每條路徑的振幅是 \(e^{iS/\hbar}\) ， 非駐定的路徑互相抵消，只有 \(\delta S = 0\) 附近存活—— 最小作用量原理是量子干涉的古典極限。

三條路，同一個源頭：哈密頓結構。

正規理論#

矩陣力學：正則對易關係#

把 \(q_i, p_i\) 換成厄米矩陣 \(\hat q_i, \hat p_i\) ，正則方程換成對易關係：

\[ [\hat q_i, \hat p_j] = i\hbar\, \delta_{ij}, \qquad [\hat q_i, \hat q_j] = [\hat p_i, \hat p_j] = 0 \]

運動方程（Heisenberg 形式）：

\[ \dot{\hat q} = \frac{i}{\hbar}[\hat H, \hat q], \qquad \dot{\hat p} = \frac{i}{\hbar}[\hat H, \hat p] \]

這正是 Poisson 括號的「量子版」：把 \(\{f, g\}\) 換成 \(\frac{1}{i\hbar}[\hat f, \hat g]\) ， 古典力學就變成量子力學。這叫 Dirac 的對應規則：

\[ \{f, g\} \;\longmapsto\; \frac{1}{i\hbar}[\hat f, \hat g] \]

能量守恆自動保留： \([\hat H, \hat H] = 0\) ，所以 \(\dot{\hat H} = 0\) 。

波動力學：從 HJ 方程出發#

Schrödinger 的關鍵替換：作用量 \(S\) 與波函數的關係

\[ S = \hbar\, \mathrm{Im}\,\ln\psi \quad\Longleftrightarrow\quad \psi = A\, e^{iS/\hbar} \]

把 HJ 方程 \(H(q, \nabla S) + \partial_t S = 0\) 中的算符替換

\[ p = \frac{\partial S}{\partial q} \;\longmapsto\; \hat p = -i\hbar\frac{\partial}{\partial q} \]

得Schrödinger 方程：

\[ \hat H\psi = i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}, \qquad \hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + V(q) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial q^2} + V(q) \]

WKB 驗證：設 \(\psi = A e^{iS/\hbar}\) 代入，展開到 \(\hbar\) 的最低階（ \(\hbar \to 0\) ）：

\[ \frac{1}{2m}\left( \frac{\partial S}{\partial q} \right)^2 + V + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \]

正是 Hamilton–Jacobi 方程！量子力學的古典極限，就是哈密頓力學。

能量量子化：作用量變數的遺產#

波動力學中，束縛態的量子化條件（Bohr–Sommerfeld，精確說是 WKB/Einstein–Brillouin–Keller）：

\[ \oint p\, dq = 2\pi J = n h = n\,(2\pi\hbar), \qquad n = 1, 2, 3, \dots \]

回想第 1 章： \(\oint p\,dq\) 正是相圖橢圓的面積！所以：

\[ J = n\hbar \quad\Longrightarrow\quad E_n = H(J) = n\hbar\omega \text{（諧振子）} \]

量子化就是「相空間面積只能取 \(\hbar\) 的整數倍」—— 哈密頓的作用量變數，百年後成為量子能階的鑰匙。

Feynman 路徑積分#

量子力學的第三條路：粒子從 \(A\) 到 \(B\) 的振幅是所有路徑的加總：

\[ K(B, A) = \int_{q(t_1) = A}^{q(t_2) = B} e^{iS[q]/\hbar}\, \mathcal{D}q \]

其中 \(S[q] = \int L\,dt\) 就是古典作用量。

古典極限（ \(\hbar \to 0\) ）：路徑積分的相位 \(S[q]/\hbar\) 劇烈振盪， 相鄰路徑互相抵消；只有 \(\delta S = 0\) （駐定作用量）附近相位緩慢變化、 貢獻存活。所以：

\[ \hbar \to 0 \quad\Longrightarrow\quad \text{只有古典路徑存活} \quad\Longrightarrow\quad \delta S = 0 \]

最小作用量原理，原來是量子干涉的殘影。

簡易範例：諧振子的能階#

一維諧振子 \(\omega = \sqrt{k/m}\) 。由 Bohr–Sommerfeld 條件與第 1 章的橢圓面積：

\[ A = \frac{2\pi E}{\omega} = 2\pi J = 2\pi n\hbar \quad\Longrightarrow\quad E_n = n\hbar\omega \]

（精確的 Schrödinger 解多出半份零點能： \(E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega\) 。）

對比： - 古典：能量連續，相圖是連續的橢圓。 - 量子：能量跳階，間隔 \(\hbar\omega\) ——相圖面積只能取 \(\hbar\) 的整數倍。

\(m = 1\) kg、 \(k = 1\) N/m 的宏觀彈簧， \(\hbar\omega \approx 10^{-34}\) J—— 間隔小到量不出來，所以古典力學是完美近似。

歷史典故#

  • Heisenberg 矩陣力學與正則對易關係 \([q,p] = i\hbar\) ，見 1925-矩陣力學.md——他把正則方程「量子化」。
  • Schrödinger 從 HJ 方程推導波動力學，見 1926-波動力學誕生.md——他說「我把 Hamilton 的特徵函數變成了波函數」。
  • Feynman 路徑積分 \(e^{iS/\hbar}\) ，見 1948-Feynman路徑積分.md——最小作用量原理的量子解答。
  • Hamilton 1835 年的光學–力學類比（波動–粒子對應的預言），見 1835-Hamilton特徵函數.md——他早就預言了這一切。

習題#

  1. 用 Dirac 對應規則把古典 Poisson 方程 \(\dot q = \{q, H\}\) 量子化，寫出 Heisenberg 運動方程。
  2. 諧振子的 Bohr–Sommerfeld 量子化給 \(E_n = n\hbar\omega\) ，而精確解是 \(\left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega\) 。 說明半份零點能從何而來（提示：WKB 在轉折點的修正，Maslov 指標）。
  3. 自由質點的 Feynman 傳播子是 \(K = \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar t}}\, e^{im(x_B - x_A)^2/(2\hbar t)}\) 。 驗證其相位正是古典作用量 \(S = \frac{m(x_B - x_A)^2}{2t}\) （駐定路徑：勻速直線）。