中等-彈簧振子的相空間與能量守恆#

題目#

一個質量 m = 1 kg 的物體掛在彈簧上（彈力常數 k = 4 N/m），在光滑水平面上振動。 1. 寫出哈密頓量。 2. 畫出相空間（x-p 平面）軌道的形狀。 3. 證明哈密頓量沿著軌道保持不變。

解說#

第 1 步：哈密頓量#

\[ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{p^2}{2} + 2x^2 \]

第 2 步：正則方程#

\[ \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m} = p \]

\[ \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial x} = -kx = -4x \]

直觀解讀： - 第一條：「動量就是位置的前進方向和快慢」 - 第二條：「彈簧把動量往中間拉」（x 在右邊時 p 變負，往左推）

第 3 步：相空間軌道#

把能量固定為 E，則軌道滿足：

\[ \frac{p^2}{2} + 2x^2 = E \]

這是一個橢圓！例如 E = 8 時：

\[ \frac{x^2}{4} + \frac{p^2}{16} = 1 \]

x 方向半軸 = 2（最大位移 2 m）
p 方向半軸 = 4（最大動量 4 kg·m/s）

相空間圖（想像一個點在橢圓上逆時針跑圈圈）：

        p
        ↑
      4 |   ● ● ●
        | ●       ●
   ─────●────●────●───→ x
   -2   |         2
        | ●       ●
     -4 |   ● ● ●

物體在最右邊時（x = 2, p = 0）動能為零、位能最大；衝過中間時（x = 0）動能最大；就這樣週而復始。

第 4 步：證明能量守恆#

對 H 求時間導數（用鏈鎖法則）：

\[ \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial x}\dot{x} + \frac{\partial H}{\partial p}\dot{p} \]

代入正則方程 \(\dot{x} = \partial H/\partial p\) 和 \(\dot{p} = -\partial H/\partial x\) ：

\[ \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial x}\cdot\frac{\partial H}{\partial p} + \frac{\partial H}{\partial p}\cdot\left(-\frac{\partial H}{\partial x}\right) = 0 \]

兩項正好互相抵消！這不是巧合，而是哈密頓方程結構的美妙之處： 只要 H 不直接依賴時間，能量就自動守恆。

數值驗算#

取 x = 1, p = 2（此時在軌道上嗎？）：H = 2²/2 + 2(1)² = 2 + 2 = 4 ≠ 8，不在 E = 8 的軌道上。改取 x = 0, p = 4：H = 16/2 = 8 ✓

半秒後（用方程積分）：x(t) = 2sin(2t)，在 t = π/4 時 x = √2, p = 2√2·cos(2t)...

驗證：H = (2√2·cos(π/2))²/2 + 2(2sin(π/4))² = 0 + 2·2·(1/2) = ...

直接驗證一般解 x = 2sin(2t), p = 4cos(2t)： H = 16cos²(2t)/2 + 2·4sin²(2t) = 8cos²(2t) + 8sin²(2t) = 8 ✓ 永遠等於 8！

重點整理#

調和振子的相空間軌道是橢圓
dH/dt = ∂H/∂x·∂H/∂p - ∂H/∂p·∂H/∂x = 0（自動抵消）
每一個橢圓對應一個固定的能量值