中等-拋體運動的最小作用量原理#

題目#

一顆球從原點 (0, 0) 以初速 v₀ = 10 m/s、仰角 45° 拋出（g = 10 m/s²）。 1. 用牛頓力學算出軌道和射程。 2. 說明「最小作用量原理」如何「一口氣」決定這條軌道。

水平方向不受力：x(t) = v₀cos45°·t = 10·(√2/2)·t ≈ 7.07t 鉛直方向受重力：y(t) = v₀sin45°·t - ½gt² = 7.07t - 5t²

落地時 y = 0：5t² = 7.07t → t = 1.414 秒

射程 = 7.07 × 1.414 ≈ 10 公尺

（順帶一提：45° 時射程 v₀²/g = 100/10 = 10，正是最大射程的角度！）

哈密頓力學的思想源頭是最小作用量原理（Maupertuis, 1744）：

大自然會選擇讓「作用量」S 最小的那條路徑。

作用量的定義（拉格朗日版本）：

\[ S = \int_{0}^{T} L \, dt, \qquad L = K - V = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2) - mgy \]

注意：L 是「動能減位能」，跟哈密頓量 H = K + V 的加號不同！

想像把球可能走的路徑畫出來，每一條都算一個 S 分數：

數學上，令 S 最小的條件是「尤拉-拉格朗日方程」：

\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}} - \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \]

代入計算： - ∂L/∂ẏ = mẏ → d/dt(mẏ) = mÿ - ∂L/∂y = -mg

所以 mÿ - (-mg) = 0 → ÿ = -g，正是重力！

x 方向同理可得 ẍ = 0。

費曼（Feynman, 1948）把這個思想帶進量子力學：粒子其實同時走所有路徑，只是作用量小的路徑貢獻最大。拋體運動的拋物線，就是所有路徑「合作」的結果。