困難-Hamilton-Jacobi 方程與諧振子的完整解#

題目#

用 Hamilton-Jacobi 方法（1837）完整求解一維諧振子： H = p²/2m + ½kx²，質量 m，角頻率 ω = √(k/m)。並說明為什麼這個方法被量子力學的誕生（1925-1926）視為關鍵橋樑。

Hamilton 在 1834-1835 年發現：把哈密頓量中的 p 換成「作用量函數的梯度」 p = ∂S/∂x，就得到一個偏微分方程：

\[ H\left(x, \frac{\partial S}{\partial x}\right) = E \]

對諧振子而言：

\[ \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 = E \]

直觀理解：S(x, t) 就像一張「地形圖」，等高線是 S 相同的點，而粒子的軌道永遠垂直於等高線前進。解出 S，就解出了所有可能的軌道！這就像光學中的「波前」：光線永遠垂直於波前——這個類比後來啟發了 Schrödinger。

設 S(x, t) = W(x) − Et（時間部分可以先提出來，因為 H 不含 t）：

\[ \frac{1}{2m}\left(\frac{dW}{dx}\right)^2 + \frac{1}{2}m\omega^2 x^2 = E \]

解出 dW/dx：

\[ \frac{dW}{dx} = \pm\sqrt{2mE - m^2\omega^2 x^2} \]

積分（這是高中就會的三角代換積分，令 x = A sin θ，A = √(2E/mω²)）：

\[ W(x) = \frac{E}{\omega}\left[\theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta\right], \quad \theta = \sin^{-1}\!\left(\sqrt{\frac{m\omega^2}{2E}}\,x\right) \]

Jacobi（1843）指出：把 W 當成「新座標」，令

\[ \beta = \frac{\partial S}{\partial E} = \frac{\partial W}{\partial E} - t = \text{常數} \]

（這就是「正則變換」：換到一組讓運動變得超簡單的新座標。）

計算 ∂W/∂E 時注意 E 藏在 A 裡。結果整理後可得：

\[ \cos\theta = \sin(\omega(\beta + t)) \]

稍加整理就得到：

\[ x(t) = A\sin(\omega t + \phi) \]

一個再熟悉不過的答案：諧振子做簡諧運動，振幅 A 由能量決定（E = ½mω²A²），相位 φ 由初始條件決定。

Hamilton-Jacobi 理論的三個深遠影響：

動作量 S 是主角：粒子軌道 = S 的等高線的法線，就像光線 = 波前的法線。力學和光學在數學上是同一回事！
通往波動力學：Schrödinger（1926）正是把「粒子軌道是 S 的法線」升級為「S 其實是一個波的相位」，寫下波動方程。波前彎曲時光線近似仍成立，就像短波長時量子力學近似回到古典力學（WKB 近似）。
通往矩陣力學：Heisenberg（1925）注意到 H-J 理論中的「作用變數-角度變數」 J, θ 天生帶有週期性，把 J 量子化（J = nh/2π）就得到能階：

\[ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega \]

諧振子的能階是等間距的——這正是 Planck（1900）黑體輻射假設的根源！

一句話總結：Hamilton 把牛頓力學改寫成「能量與波前」的語言，一百年後，這套語言直接變成了量子力學。你今天解的諧振子習題，正是量子革命的起點。