簡易-單擺的哈密頓量#
題目#
一個單擺，擺錘質量 m，擺長 L，擺角 θ（從鉛垂線量起）。 請寫出它的哈密頓量，並導出小角度時的運動方程式。
解說#
第 1 步：算動能#
擺錘沿圓弧運動，速率 v = L·θ̇（弧長 = 半徑 × 角度變化率，跟圓周運動一樣）。
\[ K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 \]
動量（對應 θ 的「廣義動量」）：
\[ p_\theta = \frac{\partial K}{\partial \dot{\theta}} = mL^2\dot{\theta} \]
反解出 θ̇ = p_θ/(mL²)。
第 2 步：算位能#
擺錘的高度比最低點高出：
\[ y = L - L\cos\theta = L(1-\cos\theta) \]
所以
\[ V = mgy = mgL(1-\cos\theta) \]
第 3 步：組合出哈密頓量#
\[ H = \frac{p_\theta^2}{2mL^2} + mgL(1-\cos\theta) \]
第 4 步：用正則方程#
\[ \dot{p}_\theta = -\frac{\partial H}{\partial \theta} = -mgL\sin\theta \]
（這正是「回復力矩」，擺角越大，被拉回來的力量越大，而且永遠往回拉。）
第 5 步：小角度近似#
當角度很小時，高中學過 sin θ ≈ θ（弧度制）。
\[ \dot{p}_\theta \approx -mgL\,\theta \]
再代入 \(\dot{\theta} = p_\theta/(mL^2)\) ，兩式合併可得：
\[ \ddot{\theta} = -\frac{g}{L}\theta \]
這是標準的簡諧運動方程，週期為：
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]
驗算#
擺長 L = 1 m，g = 10 m/s² 時：
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{10}} \approx 1.99 \text{ 秒} \approx 2 \text{ 秒} \]
「一米長的單擺來回約兩秒」——這就是高中實驗課常算的結果！
重點整理#
- 廣義動量 p_θ = ∂L/∂θ̇（這裡的 L 是拉格朗日量，別跟擺長搞混）
- H = K + V，用 p 表示 K
- 小角度時單擺是簡諧運動，T = 2π√(L/g)