簡易-自由落體的哈密頓量#

題目#

一顆質量 m = 1 kg 的石頭從高處自由落下（重力加速度 g = 10 m/s²）。請寫出它的哈密頓量 H，並用哈密頓正則方程求出運動方程式。

哈密頓力學不用「速度 v」當變數，而是用「動量 p = mv」。

所以把 v = p/m 代入動能：

\[ H = \frac{1}{2}m v^2 + mgh = \frac{p^2}{2m} + mgh \]

這就是石頭的哈密頓量。想像它是一個「能量計分板」： - 第一項 p²/2m 是動能（跑得越快分數越高） - 第二項 mgh 是位能（站得越高分數越高）

哈密頓給了兩條漂亮的方程式：

\[ \dot{h} = \frac{\partial H}{\partial p}, \qquad \dot{p} = -\frac{\partial H}{\partial h} \]

（符號上的點代表「對時間的變化率」，∂ 代表「偏微分」，意思就是：「其他變數都固定不動，只看這一個變數的影響」。）

求 h 的變化率：

\[ \dot{h} = \frac{\partial}{\partial p}\left(\frac{p^2}{2m} + mgh\right) = \frac{p}{m} = v \]

（對 p 微分時，mgh 裡沒有 p，就像常數一樣消失。p²/2m 微分後變成 p/m，這只是告訴我們「動量除以質量就是速度」，很合理！）

求 p 的變化率：

\[ \dot{p} = -\frac{\partial}{\partial h}\left(\frac{p^2}{2m} + mgh\right) = -mg = -10 \text{ N} \]

（對 h 微分時，p²/2m 裡沒有 h，消失。剩下 mgh 微分得 mg，前面的負號告訴我們：重力把動量往「下」拉，所以動量越來越負。）

\[ h(t) = h_0 - \frac{1}{2}gt^2 \]

這和高中用牛頓定律算出來的答案完全一樣。