1687 - Newton《自然哲學的數學原理》#
案件摘要#
1687 年，牛頓在 Halley 資助與催促下出版《自然哲學的數學原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)。 全書以幾何語言寫成，卻包藏著微積分的火種。三大運動定律 + 萬有引力，一口氣解釋了蘋果落地與行星繞日。 天與地的物理第一次被同一組定律統一——這是「哈密頓物理學」所有後續案件的第一現場。
前因#
- 開普勒三定律（1609–1619）：行星走橢圓、面積速度守恆、 \(T^2 \propto a^3\) 。是經驗律，但「為什麼」無人能答。
- 伽利略的力學：斜面實驗、慣性觀念、落體 \(s = \tfrac{1}{2}gt^2\) 。地上的運動有了定量描述。
- 笛卡兒的旋渦說：以太旋渦帶動行星——流行但錯誤的候選理論，是牛頓要擊倒的對手。
- Hooke 的質疑：Hooke 在 1679 年信中提出「行星運動 = 切向慣性 + 向心引力」，並向牛頓徵求證明。這封信是導火線。
線索與推理#
由開普勒定律反推萬有引力#
牛頓的偵探手法：不假設力的形式，而由面積律與橢圓軌道反推出來。
- 面積速度守恆 ⇒ 力是有心力（沿半徑方向）。
- 橢圓軌道 + 周期律 \(T^2 \propto a^3\) ⇒ 力 \(\propto 1/r^2\) 。
- 用月球檢驗：月球向心加速度與地面重力之比
\[ \frac{a_{moon}}{g} = \frac{R_E^2}{r_{moon}^2} \approx \frac{1}{60^2} \approx \frac{1}{3600} \]
當時已知 \(r_{moon}/R_E \approx 60\) ，計算吻合——天與地用同一個 \(g\) 。
三大定律的結構意義#
| 定律 | 內容 | 後續意義 |
|---|---|---|
| 第一律 | 慣性：無力則 \(v\) 不變 | 定義了「慣性系」——日後相對論與拉格朗日力學的舞台 |
| 第二律 | \(\vec F = m\vec a\) （原文為 \(\vec F = d\vec p/dt\) ） | 二階常微分方程，一切力學計算的起點 |
| 第三律 | 作用=反作用 | 動量守恆，多體系統分析的基礎 |
二階方程的世界線觀點#
\[ m\ddot{\vec r} = -\frac{GMm}{r^2}\hat r \]
給定初值 \((\vec r_0, \dot{\vec r}_0)\) ，未來完全決定。這是「決定論」的數學原型： 狀態 = 6 個數（3 位置 + 3 動量）。日後 Hamilton 把這組數命名為相空間中的一點。
結案#
- 旋渦說出局， \(1/r^2\) 律統一天地；Halley 用它預測彗星回歸（1758 年，哈雷彗星如期而至）。
- 但 Newton 形式有隱患：約束系統（單擺、剛體）在直角座標下痛苦不堪——每個約束力都要顯式算出。
- 這個痛點是下一個案子的動機：Euler 與 Lagrange 要「把約束藏起來」（見 1736-Euler力學.md、1788-分析力學.md）。