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1755 - Lagrange 變分法——19 歲少年的一般方法#

案件摘要#

1755 年 8 月，都靈的 19 歲炮兵學校講師 Lagrange 寫信給 Euler， 宣布他發明了「變分法的一般方法」：把求極值曲線的問題，化為一個微分方程。

\[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} = 0 \]

Euler 回信讚嘆並立即採用，還刻意延後自己同主題論文的發表，讓少年先發。 這條今日稱為 Euler–Lagrange 方程的式子，是拉格朗日力學（乃至現代物理場論）的發動機。

前因#

  • Euler 的變分法（1736/1744）：用「有限差分逼近 + 極限」的幾何式手法，繁瑣且難以推廣。
  • 最速降線與等時曲線：一連串極值問題暴露了「逐案處理」的痛苦。
  • Maupertuis 最小作用量（1744）：宣告自然路徑使作用量穩定，但缺少一般性數學工具。
  • Lagrange 的直覺：與其「抖動整條曲線」，不如把曲線寫成座標的函數，直接對座標本身做微積分。

線索與推理#

Lagrange 的核心手法：「變分」的代數化#

考慮積分

\[ J[y] = \int_a^b L(y, y', x)\,dx \]

Lagrange 引入「變分」記號 \(\delta\) ：讓 \(y \to y + \epsilon\,\eta\) （端點固定 \(\eta(a)=\eta(b)=0\) ），要求 \(\delta J = 0\) ：

\[ \delta J = \epsilon \int_a^b \left( \frac{\partial L}{\partial y}\eta + \frac{\partial L}{\partial y'}\eta' \right) dx = 0 \]

對第二項分部積分（這是神來一筆）：

\[ \int \frac{\partial L}{\partial y'}\eta'\,dx = \underbrace{\left[\frac{\partial L}{\partial y'}\eta\right]_a^b}_{=0\ \text{(端點固定)}} - \int \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\,\eta\,dx \]

合併：

\[ \int_a^b \left( \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} \right)\eta\,dx = 0 \]

因 \(\eta\) 任意 ⇒ 被積函數必為零：

\[ \boxed{\ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} = 0\ } \]

驗證：最速降線#

代入 \(L = \sqrt{\dfrac{1+y'^2}{2gy}}\) （注意 \(L\) 不含 \(x\) ，有首次積分 \(\;y'^2 = \dfrac{1}{2gy\,c} - 1\) 的 Bézout 形式）， 解得擺線（cycloid）——與 1696 年諸大家的答案一致。一般方法一次成功。

從變分法到力學：作用量原理#

把 \(x\) 換成時間 \(t\) 、 \(y\) 換成廣義座標 \(q\) ，取 \(L = T - V\) ：

\[ \delta \int_{t_1}^{t_2} (T - V)\,dt = 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q} = 0, \quad i = 1,\dots,n \]

Newton 的 \(n\) 個二階方程 ⇔ 一個純量函數 \(L\) 的變分原理。 約束力完全消失——牛頓形式的痛點被治癒。

Python 驗證：諧振子的 Euler–Lagrange 方程#

import sympy as sp

t = sp.symbols('t')
q = sp.Function('q')(t)
k, m = sp.symbols('k m', positive=True)

L = sp.Rational(1,2)*m*sp.diff(q, t)**2 - sp.Rational(1,2)*k*q**2
eom = sp.diff(L, q) - sp.diff(sp.diff(L, sp.diff(q, t)), t)   # Euler–Lagrange
print(sp.simplify(eom))    # -k*q(t) - m*d²q/dt² = 0  ⟹  q'' = -(k/m) q，與 Newton 一致

結案#

  • 變分法成為標準數學分支；Euler 主動讓先，1755 年信件成為科學史美談。
  • Lagrange 隨即建立「都靈學派」期刊，並花 33 年寫成《分析力學》（見 1788-分析力學.md）。
  • 深遠影響：今日一切場論（電磁、廣義相對論、標準模型）都以「作用量 + 變分」為語言——全源自這封信。