1788 - Lagrange《分析力學》(Mécanique analytique)#

案件摘要#

1788 年（巴黎大革命前夕），Lagrange 出版《分析力學》。全書沒有一張圖——Lagrange 在序言中自豪地說：「書中找不到任何圖形；我使用的方法既不需要作圖，也不需要幾何或力學的論證，只需要代數運算。」牛頓以來 120 年的向量式力學，被重寫為純解析的架構。Euler–Lagrange 方程正式定名，廣義座標 \(q_i\) 、廣義力、虛功原理成為標準術語。這是「力 → 能量」革命章節的正式結案。

前因#

變分法的一般方法（1755）：Lagrange 手上已有發動機，缺的是完整成品。
虛功原理：D'Alembert（1743）已把靜力學虛功與動力學合併（d'Alembert 原理），

\[ \sum_i (\vec F_i - m_i \vec a_i)\cdot \delta \vec r_i = 0 \]

但表述繁瑣、未系統化。 - 約束系統的痛點：單擺的張力、剛體的內力——牛頓形式必須顯式算出每個約束力，才能解出運動。 - Lagrange 的野心：寫一本「一次講完所有力學」的書，讓約束自動消失。

線索與推理#

第一步：虛功原理的解析化#

設系統有 \(n\) 個廣義座標 \(q_1,\dots,q_n\) （ \(N\) 質點、 \(k\) 個約束， \(n = 3N - k\) ），位置 \(\vec r_i(q, t)\) 。虛位移 \(\delta\vec r_i = \sum_j \dfrac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}\delta q_j\) ，理想約束（約束力不做虛功）⇒

\[ \sum_j \left( Q_j - \sum_i m_i \vec a_i \cdot \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} \right)\delta q_j = 0 \]

第二步：Lagrange 的恆等式（d'Alembert 原理的化簡）#

Lagrange 證明兩條恆等式（今日教科書標配）：

\[ \frac{\partial \dot{\vec r}_i}{\partial \dot q_j} = \frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}, \qquad \frac{d}{dt}\frac{\partial \vec r_i}{\partial q_j} = \frac{\partial \dot{\vec r}_i}{\partial q_j} \]

代入後定義廣義動量 \(p_j = \dfrac{\partial T}{\partial \dot q_j}\) 、廣義力 \(Q_j = \sum_i \vec F_i \cdot \dfrac{\partial \vec r_i}{\partial q_j}\) ，得拉格朗日方程：

\[ \boxed{\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial T}{\partial q_j} = Q_j \ } \]

若力有位能 \(V(q)\) （ \(Q_j = -\partial V/\partial q_j\) ），則化為：

\[ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_j} - \frac{\partial L}{\partial q_j} = 0, \qquad L = T - V \]

範例：單擺的「解放」#

直角座標 + 張力（牛頓法）：兩個方程 + 一個未知約束力 \(T_{ension}\) ，要消元。廣義座標 \(\theta\) （拉格朗日法）：

\[ L = \tfrac{1}{2}m\ell^2\dot\theta^2 - mg\ell(1-\cos\theta) \;\Rightarrow\; \ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 \]

一個方程、一個變數、無約束力——約束被結構性地藏起來。

隱藏的伏筆：守恆量與循環座標#

\(L\) 不含某座標 \(q_j\) （「循環座標」）⇒ \(\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot q_j} = 0\) ⇒ 廣義動量 \(p_j\) 守恆。「對稱性 ⇒ 守恆量」的具體樣本——這個模式的一般性要到 Noether（1918）才完全揭曉（見 1918-Noether定理.md）。

書的結構（兩卷）#

卷	內容
第一卷	靜力學、虛功原理、動力學一般方程
第二卷	剛體力學、流體力學、振動

結案#

解析力學成為 19 世紀力學的正統；「牛頓 vs 拉格朗日」的教科書之爭以「兩者等價、拉氏更強大」收場。
但 Lagrange 形式仍是「二階 + 配置空間」觀點；下一案的動機：降到一階、換成相空間——Hamilton 正則方程（見 1834-Hamilton正則方程.md）。
歷史註腳：此書出版於 1788 年，正是法國大革命前一年；Lagrange 本人在革命中安然無恙，還主持了米制的制定。