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1834 - Hamilton 正則方程——相空間的誕生#

案件摘要#

1834 年，都柏林的 Hamilton 發表《論力學中的一般方法，第一篇》(On a General Method in Dynamics)。 他做了一件看似小小的手術：把 Lagrange 的 \(n\) 個二階方程，換成 \(2n\) 個一階方程——

\[ \boxed{\ \dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}\ } \]

其中 \(H = \sum_i p_i\dot q_i - L\) （今日稱 Hamiltonian，多數情況下 \(H = T + V\) = 總能量）。 狀態從「配置空間中的點」變成「相空間中的點 \((q, p)\) 」，動力學變成流。 這是整部哈密頓物理學的核心案件：混沌、辛幾何、量子力學，都從這組方程生長。

前因#

  • Lagrange 形式的限制：二階方程、配置空間觀點；邊界條件要「位置 + 速度」兩組，不對稱。
  • Hamilton 的光學研究（1827–1833）：他在光學中已發明「特徵函數」與 \(p, q\) 式的變數 （光線的方向餘弦 = 廣義動量！），並發現光學與力學的數學結構相同。 這個「光學–力學類比」是他進攻力學的秘密武器。
  • Lagrange 的 Legendre 變換： \(\sum p\dot q - L\) 正是熱力學也使用的 Legendre 變換—— 把 \((\dot q)\) 變數換成 \((p)\) 變數，且不丟失資訊。

線索與推理#

推導：Legendre 變換 + Euler–Lagrange#

定義 \(H(q, p, t) = \sum_i p_i \dot q_i - L(q, \dot q, t)\) ，其中 \(p_i = \partial L/\partial \dot q_i\) （反解出 \(\dot q_i = \dot q_i(q,p,t)\) ）。

微分 \(H\) ：

\[ dH = \sum_i \dot q_i\, dp_i + \sum_i p_i\, d\dot q_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial q_i}dq_i - \sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}d\dot q_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt \]

中間兩項相消（ \(p_i = \partial L/\partial \dot q_i\) ）：

\[ dH = \sum_i \dot q_i\,dp_i - \sum_i \dot p_i\,dq_i - \frac{\partial L}{\partial t}dt \]

與 \(dH = \sum \dfrac{\partial H}{\partial p_i}dp_i + \sum \dfrac{\partial H}{\partial q_i}dq_i + \dfrac{\partial H}{\partial t}dt\) 逐項比較，得正則方程。 注意最後一項： \(\dfrac{\partial H}{\partial t} = -\dfrac{\partial L}{\partial t}\) ——能量隨時間的變化由 \(L\) 的顯式時間相依決定。

\(H = T + V\) 的檢驗#

自然系統（約束與時間無關）時：

\[ H = \sum p_i \dot q_i - L = \sum \frac{\partial T}{\partial \dot q_i}\dot q_i - (T - V) = 2T - (T - V) = T + V = E \]

由 Euler 的齊次函數定理（ \(T\) 是 \(\dot q\) 的二次齊次函數）。Hamiltonian = 總能量——能量正式成為動力學的主角。

辛結構：正則方程的幾何面貌#

把 \((q, p)\) 寫成向量 \(z\) ，正則方程可寫成：

\[ \dot z = J \nabla H, \qquad J = \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix} \]

\(J\) 滿足 \(J^2 = -I\) 、 \(J^T = -J\) ——它就是「乘以 \(i\) 」的實矩陣版。 相空間體積、劉維爾定理、Poisson 括號 \(\{f, g\} = \sum(\partial_q f\,\partial_p g - \partial_p f\,\partial_q g)\) ， 都從 \(J\) 的結構流出。量子力學的 \([\hat q, \hat p] = i\hbar\) 正是 Poisson 括號的「量子化」。

Poisson 括號版正則方程#

\[ \dot q_i = \{q_i, H\}, \qquad \dot p_i = \{p_i, H\} \]

任何力學量 \(f\) 的演化： \(\dot f = \{f, H\} + \partial f/\partial t\) 。守恆 ⇔ \(\{f, H\} = 0\) 。

Python 驗證：諧振子的相空間圓#

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

def hamilton_osc(t, z):
    q, p = z
    return [p, -q]          # H = (q² + p²)/2  ⟹  q̇ = ∂H/∂p = p, ṗ = -∂H/∂q = -q

sol = solve_ivp(hamilton_osc, [0, 20], [1.0, 0.0], t_eval=np.linspace(0, 20, 400))
# 相空間軌跡是圓 (q² + p² = 1)——能量守恆的幾何表現
print(max(sol.y[0]**2 + sol.y[1]**2) - min(sol.y[0]**2 + sol.y[1]**2))  # ≈ 0

結案#