1837 - Hamilton–Jacobi 方程——完全積分的魔法#

案件摘要#

1837 年前後，Jacobi 在 Königsberg 的講義（後成《力學講義》 Vorlesungen über Dynamik, 1866 出版）把 Hamilton 的特徵函數理論推向極致： 找一個正則變換，把 \(H\) 變成零（或常數）——則新變數全部是常數，運動方程被「完全積出」。

\[ H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \]

這條 Hamilton–Jacobi 方程是求解可積系統的終極武器：不逐點積分 \(2n\) 條一階方程，而是解一條偏微分方程——用一個函數 \(S\) 概括整個系統的全部運動。

前因#

Hamilton 特徵函數（1835）： \(\partial S/\partial q = p\) 、 \(\partial S/\partial t = -H\) （見 1835-Hamilton特徵函數.md），但 Hamilton 未完成變換理論。
Hamilton 正則方程（1834）： \(\dot z = J\nabla H\) （見 1834-Hamilton正則方程.md）。
Jacobi 的偵探直覺：正則變換不改變方程的形式 ⇒ 若能變換到 \(H' = 0\) ，則 \(\dot Q = \dot P = 0\) ，一切是常數。「解 ODE」被重述為「找變換」——這是嘉當（Cartan）「等價問題」思想的先聲。

線索與推理#

核心定理（Jacobi 定理）#

若找到函數 \(S(q, \alpha, t)\) （ \(n\) 個參數 \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) ）滿足

\[ H\left(q_1,\dots,q_n;\ \frac{\partial S}{\partial q_1},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_n}\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \]

且 \(\det\left(\dfrac{\partial^2 S}{\partial q_i\, \partial \alpha_j}\right) \neq 0\) ，則

\[ \beta_i = \frac{\partial S}{\partial \alpha_i}\ (\text{常數}), \qquad p_i = \frac{\partial S}{\partial q_i}, \qquad \text{由 }\beta\text{ 反解 } q(t) \]

一條 PDE 概括全部運動。「完全積分」的魔法。

範例 1：自由粒子#

\(H = p^2/2m\) 。設 \(S = W(x) - Et\) ，則 \(W' = \sqrt{2mE}\) ：

\[ S = \sqrt{2mE}\,x - Et \;\Rightarrow\; p = \partial S/\partial x = \sqrt{2mE}, \quad \beta = \partial S/\partial E = \frac{mx}{\sqrt{2mE}} - t = \text{const} \]

反解： \(x(t) = \dfrac{\sqrt{2mE}}{m}(t + \beta)\) ——勻速運動，一次成功。

範例 2：諧振子（分離變數法）#

\(H = \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{kq^2}{2}\) 。設 \(S = W(q) - Et\) ：

\[ \frac{1}{2m}\left(\frac{dW}{dq}\right)^2 + \frac{kq^2}{2} = E \;\Rightarrow\; W = \int \sqrt{2mE - mkq^2}\;dq \]

積分後得（ \(\omega = \sqrt{k/m}\) ）：

\[ S = -Et + \frac{E}{\omega}\arcsin\!\left(\sqrt{\frac{k}{2E}}\,q\right) + \frac{q}{2}\sqrt{2mE - mkq^2} \]

\(\beta = \partial S/\partial E = \text{const}\) 可反解出 \(q(t) = A\sin(\omega t + \phi)\) 。 分離變數 = 找出可積性——凡是能分離變數的系統都是可積的。

深層結構： \(S\) 是一個「生成函數」#

\(S(q, \alpha, t)\) 生成了正則變換 \((q, p) \to (\beta, -\alpha)\) ：

\[ p_i\,dq_i - H\,dt = \alpha_i\,d\beta_i - dS + (\text{全微分項}) \]

「作用量 1-形式」 \(p\,dq - H\,dt\) 是整個理論的幾何對象—— 日後成為辛幾何的 Liouville 1-形式、乃至費曼路徑積分的相位（見 1948-Feynman路徑積分.md）。

極限的伏筆：WKB 近似#

量子力學中，設 \(\psi = A\,e^{iS/\hbar}\) ，代入 Schrödinger 方程取 \(\hbar \to 0\) ：

\[ \frac{1}{2m}\left(\nabla S\right)^2 + V = E \quad\text{(Hamilton–Jacobi 方程重現！)} \]

經典力學 = 量子力學的 \(\hbar \to 0\) 極限，數學上由這條方程保證。

結案#

可積系統的求解法正式定型：解 HJ 方程 → 分離變數 → 反解。開普勒問題、諧振子等盡數拿下。
但並非所有系統都可分離變數——Poincaré（1890）將證明：三體問題一般不可積（見 1890-Poincare三體問題.md）。
量子伏筆：HJ 方程在 1926 年成為 Schrödinger 推導波動力學的跳板（見 1926-波動力學誕生.md）。