1843 - Jacobi 正則變換與最後乘子——相空間幾何的基礎#

案件摘要#

1843 年前後，Jacobi 在動力學講義中系統化正則變換（canonical transformation）理論：哪些變換 \((q, p) \to (Q, P)\) 能保持正則方程的形式不變？答案是：保持「正則 2-形式」 \(dq \wedge dp\) 不變的變換——

\[ \sum_i dq_i \wedge dp_i = \sum_i dQ_i \wedge dP_i \]

這是辛幾何（symplectic geometry）的誕生時刻：相空間不是普通歐氏空間，而是帶辛結構的空間。 Jacobi 還發明「最後乘子」(last multiplier) 方法，處理非正則變換的修正因子。相空間的幾何學基礎就此打下，劉維爾定理、辛流、乃至混沌理論都站在這個地基上。

Hamilton 正則方程（1834）：形式優美，但只有在「正則座標」下才成立——換座標後形式會破壞嗎？（見 1834-Hamilton正則方程.md）
Hamilton–Jacobi 理論（1837）：Jacobi 已用 \(S\) 作為生成函數做變換（見 1837-HamiltonJacobi方程.md），需要一般化理論。
生成函數的樣本： \(F_1(q, Q)\) 型生成函數已出現， \(p = \partial F_1/\partial q\) 、 \(P = -\partial F_1/\partial Q\) 。
Jacobi 的問題意識：變換的自由度有多大？哪些量在變換下不變？

變換 \((q,p) \to (Q,P)\) 是正則的 ⇔ 對任意封閉曲線 \(C\) ：

\[ \oint_C \sum_i p_i\,dq_i = \oint_C \sum_i P_i\,dQ_i \quad\Longleftrightarrow\quad \sum dq_i \wedge dp_i = \sum dQ_i \wedge dP_i \]

以矩陣語言： \(M = \dfrac{\partial(Q,P)}{\partial(q,p)}\) 是正則的 ⇔

\[ M^T J M = J, \qquad J = \begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix} \]

滿足此條件的矩陣構成群——辛群 \(Sp(2n, \mathbb{R})\) 。

型	變數	關係
\(F_1(q, Q)\)	舊位置、新位置	\(p = \partial F_1/\partial q,\ P = -\partial F_1/\partial Q\)
\(F_2(q, P)\)	舊位置、新動量	\(p = \partial F_2/\partial q,\ Q = \partial F_2/\partial P\)
\(F_3(p, Q)\)	舊動量、新位置	\(q = -\partial F_3/\partial p,\ P = -\partial F_3/\partial Q\)
\(F_4(p, P)\)	舊動量、新動量	\(q = -\partial F_4/\partial p,\ Q = \partial F_4/\partial P\)

Hamilton–Jacobi 方程的 \(S(q, \alpha, t)\) 正是 \(F_2\) 型：新動量 \(P = \alpha\) 、新 Hamiltonian \(H' = H + \partial S/\partial t = 0\) 。

若變換 \(q \to Q\) 不是正則的，新方程 \(\dot Q = M \dot q\) 中會出現修正因子 \(\mu\) ：

\[ \mu = \frac{\partial(Q)}{\partial(q)}\ \text{的倒數相關量} \]

Jacobi 證明 \(\mu\) 可由一條一階線性 PDE 求出。這是「非正則變換的補救手術」—— 日後成為劉維爾方程與測度論觀點的先聲。

正則變換保體積 ⇒ 相空間中的「流」不可壓縮：

\[ \frac{d\rho}{dt} = \{\rho, H\} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \]

一團相點像不可壓縮流體一樣流動。統計力學（Boltzmann、Gibbs）的整個基礎就在這裡。