1926 - Schrödinger 波動力學誕生——Hamilton–Jacobi 的量子變奏#
案件摘要#
1926 年 1 月起，Schrödinger 在四篇論文《量子化作為本徵值問題》中建立波動力學。 出發點不是「軌道」，而是 Hamilton–Jacobi 方程（見 1837-HamiltonJacobi方程.md）： 把作用量 \(S\) 寫成 \(\psi\) 的相位，經典力學成為波動的短波長極限。
91 年前 Hamilton 留下的伏筆（粒子軌跡 = 波前特徵線，見 1835-Hamilton特徵函數.md）在此兌現： 波動力學是哈密頓光學–力學類比的完全體。
前因#
- de Broglie 物質波（1924）： \(\lambda = h/p\) ——電子也是波。博士論文差點被拒，Langevin 轉寄 Einstein 後一錘定音。
- Einstein 的讚美：Einstein 稱 de Broglie 的工作是「投入面紗的一角」，並在理想氣體論文中引用——Schrödinger 正是從這篇論文入門。
- Debye 的提問（1925 蘇黎世研討會）：「若電子是波，波動方程在哪裡？」——Schrödinger 聽後消失數週，回來時帶著答案。
- Hamilton 特徵函數的伏筆（1835）：幾何光學是波動光學的極限 ⇒ 力學也應該是某波動力學的極限。
線索與推理#
第一步：從 Hamilton–Jacobi 到波動方程#
設 \(\psi = A\,e^{iS/\hbar}\) ，代入 HJ 方程 \(\frac{1}{2m}(\nabla S)^2 + V = E\) 。 Schrödinger 的手法：先對定態（ \(S = W - Et\) ）寫下
再猜測： \(W\) 與 \(\ln\psi\) 的關係（ \(W \propto \hbar \ln\psi\) ），並要求方程對 \(\psi\) 是線性的（波動方程必須線性，否則疊加原理破產）。 線性化的結果——定態薛丁格方程：
第二步：驗證：氫原子能譜#
對氫原子 \(V = -e^2/r\) ，分離變數（球座標）：
與 Bohr 模型一致，但無需軌道！且波函數 \(\psi_{nlm}\) 自然給出角動量量子化 \(\ell = 0, 1, \dots, n-1\) ——Bohr 模型解釋不了的細節自動湧出。
第三步：含時方程與正則結構#
含時薛丁格方程 \(\hat H\psi = i\hbar\partial_t\psi\) 中： - \(\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V\) 是 Hamilton 算符（正則量子化 \(p \to -i\hbar\nabla\) ）； - \(i\hbar\partial_t\) 是能量算符（時間平移生成元）——Noether 對應（見 1918-Noether定理.md）。
第四步：與矩陣力學的等價（1926 年 3 月）#
Schrödinger 證明：矩陣元可用波函數積分表示
矩陣力學與波動力學完全等價——同一理論的兩種表示（相空間 vs 配置空間）。
WKB 近似：HJ 方程重現#
設 \(\psi = A\,e^{iS/\hbar}\) ， \(\hbar \to 0\) 時薛丁格方程退化為：
經典 = 量子的極限，由 HJ 方程保證；半經典量子化條件 \(\oint p\,dq = 2\pi\hbar\,(n + \frac{\mu}{4})\) （Maslov 修正）直接來自 \(S\) 。
光學–力學類比的完全體#
| 幾何光學 | 波動光學 | 經典力學 | 量子力學 |
|---|---|---|---|
| eikonal 方程 | 波動方程 | HJ 方程 | 薛丁格方程 |
| 光線 | 光波 | 粒子軌跡 | 物質波 |
| \(\delta\int n\,ds = 0\) | 疊加原理 | \(\delta\int L\,dt = 0\) | 路徑積分 |
Hamilton（1835）只寫出第一列與第三列的對應；Schrödinger 補全了整張表。
結案#
- 波動力學誕生；同年證明與矩陣力學等價。「量子化」被重述為「本徵值問題」——微分方程的譜理論進入物理。
- 1948 年 Feynman 的路徑積分把「作用量 \(S\) 」直接變成振幅相位（見 1948-Feynman路徑積分.md）——哈密頓結構的第三次量子變奏。
- 悲喜劇：Hamilton 一生不知道自己的光學方法會成為量子力學的誕生證明；Schrödinger 自己也說「我不是量子力學的發明者，只是把它寫下來的人」。