1928 - Nyquist 取樣定理#

案件摘要#

1928 年，Bell 實驗室的 Harry Nyquist 發表取樣定理的關鍵結果；1949 年 Shannon（與 Kotelnikov、Whittaker 等人）給出完整形式。這條定理是所有數位影音的地基：連續的聲音與影像，究竟最少要用多少離散數字才能完整描述？

帶限信號 \(x(t)\) （最高頻率 \(B\) ，即 \(X(f)=0,\ |f|>B\) ），若取樣率

\[ f_s > 2B \]

則 \(x(t)\) 可由樣本 \(x(n/f_s)\) 完全重建：

\[ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x\!\left(\frac{n}{f_s}\right) \mathrm{sinc}\!\left(\pi(f_s t - n)\right) \]

其中 \(\mathrm{sinc}(x) = \sin(x)/x\) 。臨界取樣率 \(f_s = 2B\) 稱為 Nyquist 率。

若 \(f_s < 2B\) ，高頻成分會「摺疊」成低頻假信號：

\[ f_{alias} = |f_s - f| \]

例如影片中車輪看起來倒轉，就是時間取樣（每秒 24/30 格）造成的混疊。解法是取樣前先過抗混疊低通濾波器。

取樣之後，每個樣本再量化為 \(b\) 位元。量化雜訊的理論信噪比（均勻量化）：

\[ SNR \approx 6.02\,b + 1.76 \ \text{dB} \]

每多 1 位元，SNR 提升 6 dB。CD 的 16 位元 ≈ 96 dB，恰好達到人耳動態範圍的上限。