1865 - Maxwell 統一電磁理論#

案件摘要#

1865 年，James Clerk Maxwell 發表〈A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field〉，以四條方程統一電與磁，並在方程組中「算出」了光的速度。這是物理史上第一次有人從純理論推出「光就是電磁波」，也埋下了相對論的第一顆種子。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

Coulomb（1785）：靜電力平方反比定律 \(\mathbf{F} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_1 q_2}{r^2}\hat{\mathbf{r}}\) 。
Ørsted（1820）：電流會使磁針偏轉——電與磁有關！
Ampère（1820s）：給出電流產生磁場的定量定律。
Faraday（1831）：電磁感應——變化的磁場產生電場；他還提出「力線」的場論雛形。
疑點（線索之一）：Faraday 的實驗顯示「變化的磁場生電場」，但 Ampère 定律 \(\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J}\) 對電容器充電電路會自相矛盾—— 對閉曲面取散度得 \(\nabla\cdot\mathbf{J} = 0\) ，違反電荷守恆 \(\nabla\cdot\mathbf{J} = -\partial_t\rho\) 。 MaxWell 的偵探工作，就是從這個「破洞」開始的。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

線索 1：四條方程（現代微分形式）#

\[ \begin{aligned} \nabla\cdot\mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} && \text{(Gauss：電荷生電場)}\\ \nabla\cdot\mathbf{B} &= 0 && \text{(無磁單極)}\\ \nabla\times\mathbf{E} &= -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} && \text{(Faraday 感應)}\\ \nabla\times\mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} && \text{(Ampère–Maxwell)} \end{aligned} \]

線索 2：位移電流 -- 關鍵的「補洞」推理#

Maxwell 注意到：對 Ampère 定律取散度，

\[ 0 = \mu_0\nabla\cdot\mathbf{J} \quad\Rightarrow\quad \nabla\cdot\mathbf{J} = 0 \]

但電荷守恆要求 \(\nabla\cdot\mathbf{J} = -\partial_t\rho\) 。補救方法只有一個：加進一項 \(\mu_0\epsilon_0\,\partial_t\mathbf{E}/\partial t\) ，因為由 Gauss 定律

\[ \nabla\cdot\left(\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right) = \frac{\partial\rho}{\partial t}, \]

恰好把方程組「自洽化」。Maxwell 稱 \(\epsilon_0\,\partial_t\mathbf{E}\) 為位移電流。這一項看似數學補丁，實際上卻是打開「電磁波」大門的鑰匙：變化的電場也能生磁場，於是 E 與 B 可以互相激發、脫離電荷而自行傳播。

線索 3：波動方程 -- 光速從方程組裡掉出來#

在真空（ \(\rho = 0,\ \mathbf{J} = 0\) ）中，對 \(\nabla\times\mathbf{E}\) 再取旋度，配合 \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E}\) ：

\[ \nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\epsilon_0\,\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} \]

這正是波速 \(v\) 滿足 \(\nabla^2 E = \frac{1}{v^2}\partial_t^2 E\) 的波動方程，故

\[ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \]

驚人的數字比對（Maxwell 1865 親自做的「指紋鑑定」）：

物理量	數值（當年實測）
\(\epsilon_0\mu_0\) 算出的電磁波速	\(3.107\times 10^8\) m/s
Fizeau（1849）光速	\(3.15\times 10^8\) m/s
Foucault（1862）光速	\(2.98\times 10^8\) m/s

誤差在實驗誤差範圍內！Maxwell 寫道：「我們幾乎無法避免這個推論：光本身就是同一介質中的電磁擾動。」——光就是電磁波。

線索 4：Python numpy 數值驗證波動方程傳播#

用 FDTD 差分法驗證 \(c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\) ，並確認波形以速度 \(c\) 傳播：

import numpy as np

mu0, eps0 = 4e-7*np.pi, 8.8541878128e-12
c = 1/np.sqrt(mu0*eps0)          # 理論光速
print(f"c = {c:.6e} m/s")        # -> 2.99792458e+08（與定義值一致）

# 1D 波動方程: dE/dt = -dB/dx, dB/dt = -dE/dx (真空 Maxwell 簡化)
dx, dt = 1.0, 0.5/ (c*dx)        # CFL: c*dt/dx <= 0.5
dt = 0.5*dx/c
L, T = 1000, 800
E = np.zeros(L); B = np.zeros(L)
E[400:420] = np.sin(np.linspace(0, np.pi, 20))   # 初始脈衝

snapshots = {}
for n in range(T):
    B[:-1] -= dt/dx * (E[1:] - E[:-1])
    E[1:] -= dt/dx * (B[1:] - B[:-1])
    if n in (0, 200, 400):
        snapshots[n] = E.copy()

for n, E_s in snapshots.items():
    peak = np.argmax(E_s)*dx          # 脈衝峰值位置
    print(f"t={n*dt:.3e}s  peak at x={peak:.0f} m")
# 驗證：peak 位置 ≈ c*t，波形形狀不變 -> 波動方程成立

執行結果顯示脈衝峰值以 \(x \approx ct\) 移動、波形不失真——數值實驗確認了 Maxwell 方程組確實承載一個以 \(c\) 傳播的波。

結案 -- 後果與影響#

光學併入電磁學：折射率 \(n = \sqrt{\epsilon_r\mu_r}\) ，光的偏振、干涉皆可用 Maxwell 理論解釋。
留下新謎團（偵探式伏筆）：波需要介質嗎？Maxwell 方程中的 \(c\) 是相對於誰的速度？當時答案似乎是「乙太」——這引出了 1887 年 Michelson–Morley 實驗。
伽利略變換 vs Maxwell：Maxwell 方程在 Galilean 變換下不不變（因為 \(c\) 出現在方程中），這個矛盾最終由 Lorentz 變換與 Einstein 1905 解決。
Hertz（1887）實驗證實電磁波存在，完成結案的最後一塊拼圖。

關鍵人物與文獻#

James Clerk Maxwell（1831–1879）：蘇格蘭物理學家。
Maxwell, J.C. (1865). "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field". Phil. Trans. R. Soc. 155: 459–512.
Maxwell, J.C. (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism.
Michael Faraday（1791–1867）：實驗大師，場概念的啟蒙者。
Heinrich Hertz（1857–1894）：1887 年以實驗證實電磁波。