1929-Hubble 定律#

案件摘要#

1929 年，Edwin Hubble 用造父變星測量星系距離，結合 Slipher 的紅移數據，發現星系遠離速度與距離成正比： \(v = H_0 d\) 。宇宙在膨脹——靜態宇宙的千年信仰就此崩塌，大爆炸宇宙學正式誕生。

前因 -- 為什麼會有這個案子#

1912–1917 年，Vesto Slipher 測得大多數「星雲」都有紅移（光譜向長波偏移），但它們是什麼、多遠，無人知曉。
1920 年「宇宙大辯論（Shapley–Curtis Debate）」：星雲是銀河系內的雲氣，還是獨立的島宇宙？
1923 年 Hubble 在 M31（仙女座星系）中找到造父變星，證明 M31 在銀河系之外——島宇宙勝訴。
1922/1927 年 Friedmann 與 Lemaître 已從理論推得膨脹宇宙，但缺觀測證據。
線索疑點：既然這些星系在退行，退行速度與距離之間有沒有規律？這是本案的核心謎題。

線索與推理 -- 數學式、程式、理論#

1. 造父變星測距：標準燭光#

Henrietta Leavitt (1908) 發現造父變星的週光關係：光變週期 \(P\) 越長，絕對星等 \(M\) 越亮：

\[ M = a \log_{10} P + b \]

測得 \(P\) → 得 \(M\) → 比較視星等 \(m\) ，用距離模數求距離：

\[ m - M = 5\log_{10}\frac{d}{10\,\text{pc}} \quad\Rightarrow\quad d = 10^{(m-M+5)/5}\,\text{pc} \]

這是天文學的「量天尺」，Hubble 用它一步步量出星系的距離。

2. 星系紅移：都卜勒與宇宙學紅移#

紅移定義：

\[ z = \frac{\lambda_{obs} - \lambda_0}{\lambda_0} = \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} \]

小 \(z\) 時用都卜勒公式： \(v \approx cz\) 。
大 \(z\) 需用宇宙學紅移： \(1 + z = \frac{a(t_{obs})}{a(t_{emit})} = \frac{1}{a(t_{emit})}\) （取 \(a(t_{obs})=1\) ）。光被「膨脹的空間本身」拉長——這不是星系在空間中飛，而是空間自己在脹。

3. Hubble 定律#

Hubble 疊加 Slipher 的速度數據與自己的距離數據（24 個星系，最遠僅約 2 Mpc），發現線性關係：

\[ v = H_0 d \]

1929 年原始論文得 \(H_0 \approx 500\,\text{km/s/Mpc}\) ——因造父變星校準錯誤（把 HII 區誤當亮星），大了約 7 倍。
現代值（Planck 2018）： \(H_0 \approx 67.4\,\text{km/s/Mpc}\) ；局域測量（SH0ES）： \(H_0 \approx 73\,\text{km/s/Mpc}\) 。通常記為 \(H_0 \approx 70\,\text{km/s/Mpc}\) 。

4. Hubble 張力爭議（現代懸案）#

早期宇宙推斷（Planck, CMB, \(\Lambda\) CDM）： \(H_0 \approx 67.4\)
晚期局域測量（SH0ES, 造父變星＋超新星）： \(H_0 \approx 73.0\)
兩者差約 8%，遠超誤差範圍（約 5σ）——是系統誤差還是新物理？至今未解，稱為「Hubble 張力」。

5. 宇宙年齡估計#

對平坦塵埃宇宙 \(a \propto t^{2/3}\) ， \(\frac{\dot{a}}{a} = \frac{2}{3t} = H\) ，故：

\[ t_0 \approx \frac{2}{3H_0} \approx \frac{1}{H_0} \]

取 \(H_0 = 70\,\text{km/s/Mpc}\) 換算：

\[ H_0 = \frac{70}{3.086\times 10^{19}}\,\text{s}^{-1} \approx 2.27\times 10^{-18}\,\text{s}^{-1} \]

\[ t_0 \approx \frac{1}{H_0} \approx 4.4\times 10^{17}\,\text{s} \approx 140\ \text{億年} \]

（精確的 \(\Lambda\) CDM 模型給 \(t_0 \approx 138\) 億年。）

6. Python 線性擬合紅移-距離數據#

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 模擬 Hubble 1929 風格的觀測數據 (H0 = 70 km/s/Mpc, 帶噪聲)
rng = np.random.default_rng(42)
H0_true = 70.0
d = np.linspace(0.5, 300, 30)                 # 距離 (Mpc)
z = H0_true * d / 299792.458                  # 小 z: z ≈ H0 d / c
z += rng.normal(0, 0.003, z.size)             # 觀測噪聲
v = z * 299792.458                            # 速度 (km/s)

# 線性最小平方擬合: v = H0 * d
A = np.vstack([d, np.zeros_like(d)]).T
H0_fit, _ = np.linalg.lstsq(np.vstack([d]).T, v, rcond=None)[0][[0]], None
# 簡潔寫法：
H0_fit = np.polyfit(d, v, 1)[0]

print(f"擬合 H0 = {H0_fit:.1f} km/s/Mpc (真值 {H0_true})")

plt.figure(figsize=(8,5))
plt.scatter(d, v, s=20, label='觀測數據 (模擬)')
dd = np.linspace(0, 320, 10)
plt.plot(dd, H0_fit*dd, 'r-', label=f'擬合: v = {H0_fit:.1f} d')
plt.xlabel('距離 d (Mpc)'); plt.ylabel('退行速度 v (km/s)')
plt.title('Hubble 定律: v = H0 d')
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3); plt.show()

擬合結果應接近 \(70\ \text{km/s/Mpc}\) ——Hubble 的那條直線，就是宇宙膨脹的第一份「偵查報告」。

結案 -- 後果與影響#

結案：宇宙在膨脹。 \(v = H_0 d\) 之後，Friedmann/Lemaître 的數學解從「遊戲」升級為「描述真實宇宙的理論」。
Einstein 1931 年訪問 Wilson 山天文台後，放棄靜態宇宙與 \(\Lambda\) （「最大錯誤」）。
Lemaître 1931 年提出原始原子假說；Gamow 1948 年發展為熱大爆炸並預言 CMB。
宇宙年齡之謎： \(H_0 \approx 500\) 曾給出「宇宙比地球還年輕」的荒謬結果（約 20 億年），校準修正後才化解——這是本案的一個插曲判决。
1998 年 Ia 型超新星觀測發現膨脹在加速，Hubble 定律只是「章節一」； \(H_0\) 隨時間變化，記作 \(H(t)\) 。

關鍵人物與文獻#

人物	貢獻
Henrietta Leavitt (1868–1921)	1908 造父變星週光關係
Vesto Slipher (1875–1969)	1912–17 星系紅移
Edwin Hubble (1889–1953)	1923 島宇宙、1929 Hubble 定律
Milton Humason (1891–1972)	1930s 大紅移星系速度測量
Georges Lemaître (1894–1966)	1927 理論預言膨脹

文獻 - E. Hubble, "A relation between distance and radial velocity among extra-galactic nebulae" (1929), PNAS 15, 168. - G. Lemaître (1927)——1998 年被重新翻譯後，學界承認其優先權。 - Planck Collaboration (2018), A&A 641, A6（現代 \(H_0\) 值）。 - Riess et al., "Large Magellanic Cloud Cepheid Standards..." (2019)——SH0ES 與 Hubble 張力。