01.1 什麼是回饋#

本章導讀#

自動控制的第一原理只有一句話：用結果修正行為。 你冷了就加衣、你開車偏了就回正方向盤——這就是回饋。 這一章先分清楚「開環」與「閉環」，再用數學說明為什麼回饋這麼神奇。

淺顯說明#

• 開環（open-loop）：不看結果，照劇本做。洗衣機定時洗 30 分鐘，不管衣服髒不髒。
• 閉環（closed-loop）：看結果、比目標、修正動作。冷氣設定 26 度，室內超過就吹、低於就停。

開環便宜但不準；閉環多了一個「回頭看」的動作，卻能自動抵抗干擾。

正規理論#

標準回饋結構#

系統的基本角色：

• 受控體 \(G(s)\) ：被控制的對象（蒸汽機、爐子、船）。
• 控制器 \(K(s)\) ：決定怎麼下指令。
• 參考 \(r\) 、輸出 \(y\) 、誤差 \(e = r - y\) 、控制量 \(u\) 、擾動 \(d\) 。

閉迴路方程（時域形式）：

為什麼回饋有效：靈敏度#

設 \(G\) 變動了 \(\Delta G\) 。開環時輸出變動：

閉環時（先設 \(d=0\) ， \(y = \dfrac{GK}{1+GK}r\) ），對 \(G\) 微分得：

**回饋把模型誤差的影響除以 \(1+GK\) **。若迴路增益 \(GK \gg 1\) ， 即使你對受控體一知半解，輸出仍然接近目標。這就是 Black 的洞見。

代價#

回饋不是免費的：

• 高增益 \(K\) 放大雜訊與測量誤差；
• 迴路有延遲或慣性時，高增益會造成振盪甚至發散（第 3 章詳述）。

控制的藝術，就在「夠準」與「夠穩」之間取平衡。

簡易範例：熱水器#

爐子加熱功率正比於指令： \(G(s) = \dfrac{1}{s+1}\) （一階慣性），用比例控制器 \(K = 9\) ， \(r = 1\) （目標溫度正規化為 1）。

穩態輸出：

重新計算： \(y(\infty) = \dfrac{9}{10+9} \times 1 = \dfrac{9}{19} \approx 0.474\) 。

穩態誤差高達 \(52.6\%\) ！這說明純比例控制往往留有殘差， 需要積分項（第 4 章 PID）才能把穩態誤差推到零。

但注意：若 \(G\) 衰減了 \(20\%\) （ \(G = 0.8/(s+1)\) ），穩態輸出變為 \(y = \dfrac{7.2}{10+7.2}\times 1 \approx 0.419\) ，只變了約 \(12\%\) —— 比開環的 \(20\%\) 誤差小，且 \(K\) 越大，抗拒能力越強。

歷史典故#

• 人類第一個回饋裝置：Ktesibios 的水鐘浮子調節器，見 -0270-Ktesibios水鐘浮子調節器.md。
• 溫度回饋的起源：Drebbel 的汞恆溫器，見 1620-Drebbel恆溫器.md。
• 工業革命的關鍵零件：Watt 飛球調速器，見 1788-Watt飛球調速器.md——但瓦特只會做、不會算，直到 Maxwell 才把回饋數學化。

習題#

1. 上例中，若要穩態誤差小於 \(5\%\) ， \(K\) 至少要多大？（提示： \(\dfrac{K}{10+K} \ge 0.95\) ）
2. 舉出生活中兩個開環與兩個閉環裝置，說明它們的「測量—比較—修正」各是什麼。