01.2 回饋系統的數學描述#
本章導讀#
有了回饋的概念，接下來要有一套「代數」來操縱它。 方塊圖是控制工程的漫畫語言，背後則是嚴格的迴路方程。 這一章推導閉迴路的轉移函數，並用 Black 放大器看回饋的威力。
淺顯說明#
方塊圖像水管圖：訊號是水，方塊是加壓站，箭頭是水流方向。 回饋就是把出水口的水「接一條管子回來」，與進水口的水相減後再送入。
正規理論#
串聯與並聯#
兩方塊串聯（訊號依序通過）：
\[ G_1 \to G_2 \quad\Longleftrightarrow\quad G(s) = G_1(s)G_2(s) \]
兩方塊並聯（同一輸入，輸出相加）：
\[ G(s) = G_1(s) \pm G_2(s) \]
閉迴路公式#
標準回饋結構： \(u = K e\) ， \(e = r - H y\) ， \(y = G u\) （ \(H\) 為量測方塊）。 代入消去 \(u, e\) ：
\[ y = GK(r - Hy) \;\Rightarrow\; (1 + GKH)\,y = GK\,r \]
得閉迴路轉移函數：
\[ T(s) = \frac{y}{r} = \frac{G(s)K(s)}{1 + G(s)K(s)H(s)} \]
當 \(H = 1\) （單位回饋）： \(T = \dfrac{L}{1+L}\) ，其中 \(L = GK\) 是迴路轉移函數。
特徵多項式#
\(T\) 的分母 \(1 + L(s) = 0\) 稱為特徵方程。它決定了一切動態行為：
- 分母的根（閉迴路極點）全在左半平面 \(\Rightarrow\) 穩定；
- 有根在右半平面 \(\Rightarrow\) 不穩定（輸出發散）；
- 有根在虛軸上 \(\Rightarrow\) 臨界（持續振盪）。
整個經典控制理論，就是在回答一個問題： \(1 + L(s) = 0\) 的根在哪裡？ （第 3 章的三個判據，是三種不直接解根的回答方式。）
簡易範例：一階系統的閉迴路#
\(G = \dfrac{1}{s+1}\) ， \(K = k\) （常數），單位回饋：
\[ T(s) = \frac{\frac{k}{s+1}}{1+\frac{k}{s+1}} = \frac{k}{s + 1 + k} = \frac{\frac{k}{1+k}}{\frac{s}{1+k} + 1} \]
- 閉迴路極點 \(s = -(1+k)\) ： \(k\) 越大，極點離虛軸越遠，反應越快、越穩。
- 閉迴路增益 \(\dfrac{k}{1+k} \to 1\) （當 \(k \to \infty\) ）：穩態誤差 \(\dfrac{1}{1+k} \to 0\) 。
對這個簡單的例子，回饋同時買到了速度與準度—— 但別高興太早： \(G\) 含兩個以上積分器時，高增益會讓極點跑到右半平面（見 03.1 的習題）。
歷史典故#
- 1927 年 Black 在 Bell 實驗室發明負回饋放大器：用犧牲增益換取穩定與線性，見 1927-Black負回饋放大器.md——真空管增益會漂移，Black 的負回饋讓放大器「增益不準也輸出準」。
- 1868 年 Maxwell 的〈論調速器〉首次寫下特徵方程，見 1868-Maxwell論調速器.md——控制理論從手藝變成科學的那一刻。
習題#
- 推導 \(T(s) = \dfrac{GK}{1+GKH}\) ，並說明 \(H \ne 1\) 時感測器誤差如何進入 \(T\) 。
- 設 \(G = \dfrac{1}{s(s+1)}\) ， \(K = k\) ，寫出閉迴路特徵方程 \(s^2 + s + k = 0\) ， 並用二次方程判別式說明 \(k > \tfrac14\) 時極點為共軛複數（會振盪）。