02.1 微分方程建模與線性化#

本章導讀#

控制的第一步是「建模」：把物理世界（機械、電路、熱）翻譯成微分方程。真實世界是非線性的，但我們有一個妙招——在工作點附近線性化，之後就能用線性代數與 Laplace 變換的重機械。

淺顯說明#

非線性系統像彎曲的山坡，線性系統像直尺。在山坡上取一小段，用切線代替曲線——只要你不走遠，切線就是很好的近似。控制系統通常在平衡點附近小幅度調節，正好符合「不走遠」的條件。

正規理論#

機械系統：牛頓第二定律#

質量–彈簧–阻尼系統（一維平移）：

\[ m\ddot y + c\dot y + ky = F(t) \]

\(m\) ：質量（慣性）， \(c\) ：阻尼係數（耗散）， \(k\) ：彈簧常數（回復）。
\(F(t)\) ：外力，即控制輸入。

電路系統：Kirchhoff 定律#

RLC 串聯電路（輸入為電壓 \(v(t)\) ，輸出為電容電壓 \(y(t)\) ）：

\[ L\ddot y + R\dot y + \frac{1}{C}y = v(t) \]

結構與機械系統完全同構： \(L \leftrightarrow m\) ， \(R \leftrightarrow c\) ， \(1/C \leftrightarrow k\) 。這就是控制的優雅：不同物理，同一套數學。

線性化：Taylor 展開#

設非線性系統 \(\dot x = f(x, u)\) ，平衡點 \((x_0, u_0)\) 滿足 \(f(x_0, u_0) = 0\) 。對小擾動 \(x = x_0 + \delta x\) ， \(u = u_0 + \delta u\) 做 Taylor 展開：

\[ \dot x = f(x_0,u_0) + \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{0}\delta x + \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{0}\delta u + \text{高階項} \]

捨去高階項，得線性化模型：

\[ \delta\dot x = A\,\delta x + B\,\delta u, \qquad A = \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{0},\;\; B = \left.\frac{\partial f}{\partial u}\right|_{0} \]

簡易範例：倒單擺的線性化#

單擺（角度 \(\theta\) ，長度 \(l\) ）： \(ml\ddot\theta = -mg\sin\theta - b\dot\theta\) 。

\(\sin\theta\) 是非線性的。在工作點 \(\theta_0 = 0\) 附近， \(\sin\theta \approx \theta\) ，得：

\[ ml\ddot\theta + b\dot\theta + mg\theta = 0 \]

線性諧振子！若 \(b = 0\) ，自然頻率 \(\omega_n = \sqrt{g/l}\) ：單擺長 \(1\,\mathrm{m}\) 時 \(\omega_n \approx 3.13\,\mathrm{rad/s}\) ，週期約 \(2\) 秒——與伽利略的觀察一致。

線性化的適用範圍： \(\theta\) 小（ \(< 15°\) 誤差 \(< 1\%\) ）。擺盪太大，線性模型失效。

歷史典故#

1868 年 Maxwell 以微分方程分析 Watt 飛球調速器：他做的正是「線性化 + 特徵方程」，見 1868-Maxwell論調速器.md——控制理論誕生的關鍵一步。
1788 年 Watt 只造不算，見 1788-Watt飛球調速器.md—— 沒有數學的年代，工程師靠試誤與手藝。

習題#

寫出倒立擺（ \(\theta_0 = \pi\) ，擺在上方）的線性化，說明為什麼它天生不穩定。（提示： \(\theta = \pi + \delta\theta\) ， \(\sin(\pi + \delta\theta) \approx -\delta\theta\) ，回復力變成「推離力」。）
對 \(f(x) = x^2 + x\) ，在 \(x_0 = 1\) 處線性化，比較 \(x = 0.9, 1.1, 2\) 時的誤差。