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02.2 Laplace 變換與轉移函數#

本章導讀#

微分方程難解，但有一個轉換能把「微積分」變成「代數」——這就是 Laplace 變換。 它讓解微分方程像解 \(3x + 5 = 0\) 一樣簡單，也催生了經典控制的核心語言：轉移函數。

淺顯說明#

Laplace 變換像一台翻譯機：把「時間世界」的函數 \(f(t)\) 翻譯成「 \(s\) 世界」的 \(F(s)\) 。 翻譯的魔法在於：

  • 時間世界的「微分」 \(\to\) \(s\) 世界的「乘 \(s\) 」
  • 時間世界的「積分」 \(\to\) \(s\) 世界的「除以 \(s\) 」

於是微分方程變成代數方程，解完再翻譯回來即可。

正規理論#

定義#

函數 \(f(t)\) 的 Laplace 變換：

\[ F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty f(t)\, e^{-st}\, dt, \qquad s = \sigma + j\omega \]

關鍵性質#

性質 公式
微分 \(\mathcal{L}\{\dot f\} = sF(s) - f(0)\)
二階微分 \(\mathcal{L}\{\ddot f\} = s^2F(s) - sf(0) - \dot f(0)\)
積分 \(\mathcal{L}\left\{\int_0^t f\,d\tau\right\} = \dfrac{F(s)}{s}\)
延遲 \(\mathcal{L}\{f(t-\tau)\} = e^{-s\tau}F(s)\)
指數衰減 \(\mathcal{L}\{e^{-at}f(t)\} = F(s+a)\)
線性 \(\mathcal{L}\{\alpha f + \beta g\} = \alpha F + \beta G\)

轉移函數的誕生#

對線性常係數微分方程（零初始條件）：

\[ a_n y^{(n)} + \cdots + a_1\dot y + a_0 y = b_m u^{(m)} + \cdots + b_0 u \]

兩邊取 Laplace 變換，微分變乘 \(s\) ：

\[ (a_ns^n + \cdots + a_1 s + a_0)\,Y(s) = (b_ms^m + \cdots + b_0)\,U(s) \]

得轉移函數——輸出與輸入在 \(s\) 世界的比值：

\[ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_ms^m + \cdots + b_0}{a_ns^n + \cdots + a_0} \]
  • 分母的根 = 極點（系統的「共振頻率」，決定動態）；
  • 分子的根 = 零點（系統的「消音頻率」）。

反變換：部分分式#

解出 \(Y(s) = G(s)U(s)\) 後，用部分分式拆開，查表反變換：

\[ Y(s) = \sum_i \frac{c_i}{s - p_i} \;\Longleftrightarrow\; y(t) = \sum_i c_i e^{p_i t} \]

極點 \(p_i\) 的實部決定命運： \(\Re(p_i) < 0\) 衰減， \(\Re(p_i) > 0\) 爆炸。

簡易範例：一階系統的階梯響應#

\(\dot y + 2y = u\) ， \(u(t) = 1\) （階梯輸入）， \(y(0) = 0\) 。

  1. 取 Laplace： \((s + 2)Y = \dfrac{1}{s}\) 。
  2. 解代數： \(Y = \dfrac{1}{s(s+2)} = \dfrac{1/2}{s} - \dfrac{1/2}{s+2}\) （部分分式）。
  3. 反變換：
\[ y(t) = \frac{1}{2}\left(1 - e^{-2t}\right) \]

極點 \(s = -2\) ：時間常數 \(\tau = 1/2\) ， \(t = \tau\) 時達到 \(63\%\) ， \(t = 4\tau\) 時達到 \(98\%\) 。

三步驟「取 Laplace → 解代數 → 反變換」，就是經典控制的通用解法。

歷史典故#

習題#

  1. 求 \(\ddot y + 3\dot y + 2y = u\) （ \(u\) 為階梯）的 \(Y(s)\) 與 \(y(t)\) 。（極點 \(-1, -2\) ）
  2. 證明：極點 \(p_i\) 全在左半平面 \(\Rightarrow\) 零初始條件的自由響應 \(y(t) \to 0\) 。