02.3 簡易範例：一階與二階系統#
本章導讀#
一階與二階系統是控制的「字母表」：複雜系統由它們串並聯組成。 這一章把兩個基本系統的響應算透徹，學會看懂暫態指標。
淺顯說明#
- 一階系統像熱水器：給它階梯輸入，它慢慢爬向目標，不會振盪。只有一個參數——時間常數 \(\tau\) 。
- 二階系統像彈簧門：可能不振盪就關上（過阻尼），也可能彈幾下（欠阻尼）。有兩個參數——自然頻率 \(\omega_n\) 與阻尼比 \(\zeta\) 。
正規理論#
一階系統#
\[ \tau\dot y + y = K u \quad\Longleftrightarrow\quad G(s) = \frac{K}{\tau s + 1} \]
階梯響應（ \(u = 1\) ， \(y(0)=0\) ）：
\[ y(t) = K\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \]
| 時間 | 響應 |
|---|---|
| \(t = \tau\) | \(63.2\%\,K\) |
| \(t = 2\tau\) | \(86.5\%\,K\) |
| \(t = 4\tau\) | \(98.2\%\,K\) |
二階系統#
\[ \ddot y + 2\zeta\omega_n \dot y + \omega_n^2 y = \omega_n^2 K u \quad\Longleftrightarrow\quad G(s) = \frac{\omega_n^2 K}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} \]
極點：
\[ s = -\zeta\omega_n \pm \omega_n\sqrt{\zeta^2 - 1} \]
- \(\zeta > 1\) ：過阻尼（兩個實極點，不振盪）。
- \(\zeta = 1\) ：臨界阻尼（最快而不振盪）。
- \(0 < \zeta < 1\) ：欠阻尼（共軛複極點，振盪衰減）。
欠阻尼的暫態指標#
\(\zeta < 1\) 時階梯響應 \(y(t) = K\left[1 - \dfrac{e^{-\zeta\omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_d t + \phi)\right]\) ， 其中阻尼自然頻率 \(\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\) 。
| 指標 | 公式 |
|---|---|
| 適間比 | \(\zeta = \dfrac{c}{2\sqrt{mk}}\) （機械系統） |
| 超越量（percent overshoot） | \(M_p = e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}} \times 100\%\) |
| 安定時間（ \(\pm 2\%\) ） | \(t_s \approx \dfrac{4}{\zeta\omega_n}\) |
| 上升時間 | \(t_r \approx \dfrac{1.8}{\omega_n}\) |
超越量只由 \(\zeta\) 決定： \(\zeta = 0.7\) 時 \(M_p \approx 4.6\%\) ——這是工程上常用的「甜蜜點」。
簡易範例：汽車懸吊#
質量 \(m = 1000\,\mathrm{kg}\) ，彈簧 \(k = 4\times 10^4\,\mathrm{N/m}\) ，阻尼 \(c = 8000\,\mathrm{N\cdot s/m}\) ：
\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{40} \approx 6.32\,\mathrm{rad/s}, \qquad \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{8000}{2\times 6324.6} \approx 0.632 \]
欠阻尼。超越量：
\[ M_p = e^{-\pi(0.632)/\sqrt{1-0.4}} = e^{-2.56} \approx 7.7\% \]
安定時間 \(t_s \approx \dfrac{4}{0.632 \times 6.32} \approx 1.0\,\mathrm{s}\) 。
過個減速丘，車身彈起約 \(7.7\%\) 、約 1 秒安定——想要更舒適，加大阻尼 \(c\) （提高 \(\zeta\) ）。
歷史典故#
- 1788 年 Watt 的飛球調速器常有「獵振」（hunting，持續振盪）問題——正是欠阻尼回饋系統， 見 1788-Watt飛球調速器.md。
- 1922 年 Minorsky 分析船舶 PID 時，船的搖擺也是二階系統，見 1922-Minorsky船舶PID.md。
習題#
- 一階系統 \(\tau = 0.5\) ，輸入階梯 \(K=2\) ，求 \(t = 1\,\mathrm{s}\) 時的響應。（ \(y = 2(1-e^{-2}) \approx 1.73\) ）
- 欠阻尼二階系統， \(\omega_n = 10\) ，要求超越量 \(< 5\%\) ， \(\zeta\) 至少多少？ 安定時間多少？（ \(\zeta \approx 0.69\) ， \(t_s \approx 0.58\,\mathrm{s}\) ）