03.1 Routh–Hurwitz 判據#

本章導讀#

「這個回饋系統穩不穩？」——最直接的答案是解特徵方程的根，但高次多項式沒有根式解（Abel 定理）。 Routh 的妙招：不必解根，只看係數就能判斷極點是否全在左半平面。

穩定性像「推不倒翁」：推一下會晃，但會回到原位。數學上，這就是所有自然響應 \(e^{p_i t}\) 都會衰減——即所有極點 \(\Re(p_i) < 0\) 。

Routh 表像體檢報告：把多項式係數排成表格，第一欄有沒有變號，就是穩不穩的判準。

線性系統 \(\dot x = Ax\) 穩定（漸近穩定）若且唯若：

\[ \text{所有特徵值 } \lambda_i \text{ 滿足 } \Re(\lambda_i) < 0 \]

對轉移函數 \(G(s)\) ，即特徵多項式的根全在左半平面。

\[ a_ns^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_1 s + a_0 = 0, \qquad a_n > 0 \]

第一列： \(a_n,\ a_{n-2},\ a_{n-4},\dots\) ；第二列： \(a_{n-1},\ a_{n-3},\dots\) 。之後每列由前兩列交叉相乘：

\[ b_1 = \frac{a_{n-1}a_{n-2} - a_na_{n-3}}{a_{n-1}}, \qquad b_2 = \frac{a_{n-1}a_{n-4} - a_na_{n-5}}{a_{n-1}}, \quad \dots \]

多項式的右半平面根的個數 = Routh 表第一欄的變號次數。 第一欄全同號（無變號）⇔ 系統穩定。

必要條件（先檢查）：所有係數 \(a_i > 0\) 。有負係數直接不穩，不必建表。

\[ s^3 + 2s^2 + 4s + 8 = 0 \]

Routh 表：

\(s^1\) 列為 0——臨界情形！事實上 \(s^3+2s^2+4s+8 = (s+2)(s^2+4)\) ，極點 \(s = \pm 2j\) 在虛軸上，系統持續振盪（Watt 調速器的「獵振」正是這種）。

\(G = \dfrac{1}{s(s+1)(s+2)}\) ， \(K = k\) ，特徵方程：

\[ s^3 + 3s^2 + 2s + k = 0 \]

Routh 表 \(s^1\) 列元素： \(\dfrac{3\cdot 2 - k}{3} = \dfrac{6-k}{3}\) 。

穩定條件： \(6 - k > 0\) ，即 \(k < 6\) 。

** \(k \ge 6\) 時系統不穩**——這說明回饋增益不是越大越好：增益太大，極點被推過虛軸，系統振盪發散。