03.2 Lyapunov 穩定性理論#

本章導讀#

Routh 判據只對線性系統有效。非線性系統怎麼辦？ 1892 年 Lyapunov 給出通用答案：找一個「能量函數」，看它是否沿著軌跡遞減。這就是 Lyapunov 函數法——現代控制與非線性控制的基石。

想像一顆彈珠在碗裡滾：只要「總能量」一直在減少（摩擦耗散），彈珠最後一定停在碗底——不需要解出彈珠的軌跡，就能斷定它會停下來。

Lyapunov 的天才在於：這個「能量」不必是真的能量，任何「像能量的函數」都行——只要它正定（像碗）且沿軌跡遞減（像摩擦）。

平衡點 \(x = 0\) （不失一般性可平移到原點）：

穩定（Lyapunov stable）： \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0\) ，使 \(\|x(0)\| < \delta \Rightarrow \|x(t)\| < \varepsilon,\ \forall t \ge 0\) 。
漸近穩定：穩定，且 \(\|x(0)\| < \delta \Rightarrow x(t) \to 0\) 。
全域漸近穩定： \(\delta\) 可取任意大。

函數 \(V(x)\) 是 Lyapunov 函數，若：

若存在 Lyapunov 函數 \(V\) ，則平衡點穩定。若 \(\dot V < 0\) （ \(x \ne 0\) ），則漸近穩定。若全域正定且 \(\dot V < 0\) ，且 \(V \to \infty\) 當 \(\|x\| \to \infty\) ，則全域漸近穩定。

對 \(\dot x = Ax\) ，取二次型 \(V(x) = x^T P x\) （ \(P\) 對稱正定）：

\[ \dot V = \dot x^T P x + x^T P \dot x = x^T(A^TP + PA)x = -x^T Q x \]

系統漸近穩定 ⇔ 對任意正定 \(Q\) ，Lyapunov 方程

\[ > A^T P + PA = -Q > \]

有唯一正定解 \(P\) 。

這是第 5 章現代控制的橋樑，也是 LQR（06.2）與 \(H_\infty\) （07.1）的 Riccati 方程的直系祖先。

\[ \dot x_1 = x_2, \qquad \dot x_2 = -x_2 - \sin x_1 \]

取能量函數 \(V = \frac{1}{2}x_2^2 + (1 - \cos x_1)\) （動能 + 位能， \(x_1 \in (-\pi, \pi)\) 內正定）：

\[ \dot V = \sin x_1 \cdot \dot x_1 + x_2\dot x_2 = \sin x_1\, x_2 + x_2(-x_2 - \sin x_1) = -x_2^2 \le 0 \]

\(\dot V \le 0\) （半負定）——穩定。再用 LaSalle 不變集原理可證漸近穩定： \(\dot V = 0\) 只在 \(x_2 = 0\) ，而軌跡停在 \(x_2 = 0\) 必須 \(\sin x_1 = 0\) ，即 \(x_1 = 0\) 。

注意：這是非線性系統，Routh 判據完全用不上，Lyapunov 函數卻三行搞定。

1892 年 Lyapunov 出版《運動穩定性的一般問題》，見 1892-Lyapunov穩定性.md—— 他為了處理 Poincaré 天體力學中的非線性問題，創立了能量函數法。
當代的 \(H_\infty\) 魯棒控制用兩個 Riccati 方程（Lyapunov 方程的近親）求解，見 1987-H∞狀態空間解法.md。

對 \(\dot x = Ax\) ， \(A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\) ，取 \(Q = I\) ，解 Lyapunov 方程求 \(P\) 。
用 \(V = \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2)\) 判斷 \(\dot x_1 = -x_1 + x_2^2\) ， \(\dot x_2 = -x_2\) 的穩定性。