03.3 Nyquist 判據與頻域穩定性#

本章導讀#

Routh 要多項式，Lyapunov 要能量函數——但真實系統（含延遲、含未知動態）兩者都難用。 Nyquist 的妙招：只量測系統對正弦波的反應，就能判斷回饋穩不穩。這是頻域分析的誕生，也是工程實務最愛的工具。

對系統輸入正弦波，輸出還是同頻率的正弦波，只是大小和相位變了。把每個頻率的「大小與相位」畫成一張圖（Nyquist 圖），它會告訴你：閉迴路極點有沒有跑進右半平面。

妙處：你不需要知道系統的微分方程——掃頻率、量響應、畫圖、判斷，完工。這就是為什麼 1930 年代的 Bell 實驗室工程師愛它：真空管放大器的動態太複雜，寫不出方程。

對穩定系統 \(G(s)\) ，輸入 \(u(t) = \sin\omega t\) ，穩態輸出：

\[ y(t) = |G(j\omega)|\,\sin\big(\omega t + \angle G(j\omega)\big) \]

其中 \(G(j\omega)\) 是把 \(s = j\omega\) 代入轉移函數的複數值。

設 \(F(s)\) 在閉圍線 \(\Gamma\) 內除有限個極點外解析，則 \(s\) 沿 \(\Gamma\) 繞一圈時， \(F(s)\) 在複平面上繞原點的圈數：

\[ N = Z - P \]

取 \(F(s) = 1 + L(s)\) （特徵多項式核心），圍線 \(\Gamma\) 取整個右半平面（Nyquist 圍線）。

\(Z\) = 右半平面的閉迴路極點數（我們要它 = 0）， \(P\) = 右半平面的開迴路極點數（通常已知，常為 0）。

** \(P = 0\) 時：Nyquist 圖不繞 \(-1\) 點 ⇔ 閉迴路穩定。**

直觀理解：閉迴路極點是 \(1 + L = 0\) 的解，即 \(L = -1\) 的點。若 \(L(j\omega)\) 的軌跡不經過、也不包住 \(-1\) ，那 \(-1\) 就不是極點。

Nyquist 圖不只回答「穩不穩」，還回答「離不穩多遠」：

\[ \mathrm{GM} = \frac{1}{|L(j\omega_{-180})|}, \qquad \mathrm{PM} = 180° + \angle L(j\omega_c) \]

經驗法則： \(\mathrm{GM} \ge 2\) （6 dB）、 \(\mathrm{PM} \ge 45°\) 是穩健設計的門檻。

\(G = \dfrac{1}{s+1}\) ， \(K = k\) ，迴路 \(L = \dfrac{k}{1+j\omega}\) 。

軌跡是下半平面的一個半圓（從 \(k\) 到 0），永遠不繞 \(-1\) ——閉迴路必穩。這與 01.2 的極點分析一致：極點 \(-(1+k)\) 永遠在左半平面。

反例： \(G = \dfrac{1}{s(s+1)^2}\) 、 \(k\) 大時，Nyquist 圖會穿過負實軸並包住 \(-1\) ——不穩定，臨界 \(k\) 可由 Routh 求得（03.1 的 \(k = 8\) 情形類似）。