04.2 頻域設計：Bode 圖與裕度#
本章導讀#
Nyquist 圖是複數平面的一條曲線；Bode 把它拆成兩張「對數圖」： 一張畫大小、一張畫相位——畫圖變簡單，設計變直觀。 Bode 圖至今仍是工程師設計迴路的第一工具。
淺顯說明#
Bode 圖的聰明之處：
- 橫軸用對數（ \(\log\omega\) ）：從 0.01 Hz 到 10000 Hz 一張圖畫完。
- 縱軸用 dB（ \(20\log|G|\) ）：增益乘法變加法。
- 相位用度：直接讀出「離 -180° 多遠」。
疊加原理讓設計像堆積木：每個極點/零點對 Bode 圖的貢獻是已知的「圖形磚」，加起來就好。
正規理論#
Bode 圖的定義#
對轉移函數 \(G(s)\) ，Bode 圖由兩部分組成：
\[ \text{增益圖：} 20\log_{10}|G(j\omega)|\ \text{dB vs } \log\omega, \qquad \text{相位圖：} \angle G(j\omega)\ \text{度 vs } \log\omega \]
圖形磚（漸近線）#
| 因子 | 增益貢獻 | 相位貢獻 |
|---|---|---|
| \(\dfrac{K}{j\omega}\) | \(-20\) dB/dec 斜率 | 恆 \(-90°\) |
| \(\dfrac{1}{1 + j\omega/\omega_0}\) （極點） | \(\omega_0\) 後 \(-20\) dB/dec | \(\omega_0\) 附近 \(0° \to -90°\) |
| \(1 + j\omega/\omega_0\) （零點） | \(\omega_0\) 後 \(+20\) dB/dec | \(\omega_0\) 附近 \(0° \to +90°\) |
裕度的讀法#
- 穿越頻率 \(\omega_c\) ：增益圖過 0 dB 的頻率——迴路的「頻寬」。
- 相位裕度： \(\mathrm{PM} = 180° + \angle L(j\omega_c)\) 。
- 增益裕度：相位過 \(-180°\) 的頻率 \(\omega_{-180}\) 上， \(\mathrm{GM} = -20\log|L(j\omega_{-180})|\) dB。
設計邏輯#
回饋設計的核心取捨：
\[ \text{高頻寬（快）} \;\Longleftrightarrow\; \text{低相位裕度（振盪風險）} \]
設計流程：
- 畫出 \(L_0 = K_p G\) 的 Bode 圖；
- 檢查 PM/GM 是否達標（PM ≥ 45°，GM ≥ 6 dB）；
- 不足則加補償：相位超前（lead）補 PM，或相位落後（lag）補低頻增益。
相位超前補償器#
\[ K_{lead}(s) = \frac{1 + \tau s}{1 + \alpha\tau s}, \qquad 0 < \alpha < 1 \]
最大相位超前 \(\phi_{max} = \sin^{-1}\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}\) ，發生在 \(\omega_m = \dfrac{1}{\tau\sqrt{\alpha}}\) 。
簡易範例：一階迴路的裕度#
\(L = \dfrac{k}{1+j\omega}\) ， \(k = 10\) ：
- 增益： \(\omega = 0\) 時 \(20\) dB，以 \(-20\) dB/dec 下降，穿越頻率 \(\omega_c = 10\,\mathrm{rad/s}\) 。
- 相位： \(\angle L(j\omega_c) = -\tan^{-1}(10/1) \approx -84.3°\) 。
\[ \mathrm{PM} = 180° - 84.3° = 95.7° \]
相位裕度近 \(96°\) ——非常穩健（一階系統天生穩）。 但若 \(G\) 有兩個以上極點，相位會跌過 \(-180°\) ，就需要超前補償器救回 PM。
歷史典故#
- 1945 年 Bode 出版《回饋放大器設計》，見 1945-Bode回饋放大器設計.md—— Bode 圖、裕度、對數設計法全部系統化，至今 80 年仍是工程標準。
- 1927 年 Black 的負回饋放大器是 Bode 設計法的動機，見 1927-Black負回饋放大器.md。
- 1932 年 Nyquist 的判據是裕度概念的理論基礎，見 1932-Nyquist判據.md。
習題#
- 畫 \(L = \dfrac{100}{(j\omega)(1+j\omega)(1+0.1j\omega)}\) 的漸近 Bode 圖，求 \(\omega_c\) 與 PM 概值。
- 證明：相位超前補償器的最大相位超前 \(\phi_{max} = \sin^{-1}\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}\) 。 （提示： \(\angle(1+j\omega\tau) - \angle(1+j\alpha\omega\tau)\) 對 \(\omega\) 微分。）