04.3 根軌跡法#

本章導讀#

頻域方法畫的是頻率響應；Evans 的根軌跡畫的是另一個面向： 當迴路增益 \(k\) 從 0 變到 \(\infty\) ，閉迴路極點在複平面上走出的軌跡。一張圖看盡「增益調大會怎樣」，1948 年誕生後立刻成為工程標準。

閉迴路極點決定一切動態（振盪？衰減？多快？）。增益 \(k\) 是工程師唯一能轉的旋鈕。根軌跡就是：轉動旋鈕時，極點在複平面上畫出的地圖。地圖上哪裡安全（左半平面）、哪裡危險（右半平面）、路會怎麼走——一目了然。

單位回饋，迴路 \(L(s) = k\,G(s)\) ，閉迴路特徵方程：

\[ 1 + k\,G(s) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad G(s) = -\frac{1}{k} \]

\(k\) 從 \(0\) 到 \(\infty\) ， \(-1/k\) 沿負實軸從 \(-\infty\) 走到 \(0\) 。滿足此方程的所有 \(s\) ，就是根軌跡。

\(s \in\) 根軌跡 ⇔：

\[ \angle G(s) = (2m+1)\pi \quad\text{（幅角條件）}, \qquad |G(s)| = \frac{1}{k} \quad\text{（大小條件）} \]

幅角條件決定「軌跡在哪裡」，大小條件決定「這個 \(k\) 時極點在哪」。

設開迴路極點 \(p_i\) （ \(n\) 個）、零點 \(z_j\) （ \(m\) 個）：

軌跡分支數 = \(n\) （= 極點數），起點 \(k=0\) 在極點，終點 \(k=\infty\) 在零點或無窮遠。
實軸上的軌跡：其右側的（極點 + 零點）總數為奇數的線段。
漸近線： \(n - m\) 條，角度 \(\theta = \dfrac{(2m'+1)\pi}{n-m}\) ，交點在實軸 \(\sigma = \dfrac{\sum p_i - \sum z_j}{n - m}\) 。
離開實軸處（分離點）：滿足 \(\dfrac{d}{ds}G(s) = 0\) 。

\(G = \dfrac{1}{s(s+2)}\) ， \(L = \dfrac{k}{s(s+2)}\) ，特徵方程：

\[ s^2 + 2s + k = 0 \quad\Rightarrow\quad s = -1 \pm \sqrt{1 - k} \]

軌跡：

關鍵觀察：實部永遠 \(= -1 < 0\) ——不管 \(k\) 多大，這個系統都不會不穩！但阻尼比 \(\zeta = \dfrac{1}{\sqrt{k}}\) 隨 \(k\) 增大而減小——增益大則振盪大。

對照反例： \(G = \dfrac{1}{s(s+1)(s+2)}\) 的根軌跡有漸近線 \(\theta = \pm 60°, 180°\) ，交點 \(\sigma = -1\) —— 增益大於臨界值（03.1 的 \(k = 6\) ）時，兩條分支穿越虛軸進入右半平面：不穩。