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05.1 狀態空間方程#

本章導讀#

經典控制用一個轉移函數描述系統——適合 SISO，但隱藏了系統的內部結構。 1960 年 Kalman 的狀態空間法用「狀態向量 + 矩陣」描述系統： 內部結構一目了然，多輸入多輸出（MIMO）也輕鬆。現代控制理論就此誕生。

淺顯說明#

轉移函數像「黑箱」：只看輸入輸出，不管內部。 狀態空間像「開箱」：用一組狀態變數 \(x\) （位置、速度、電流……）完整描述內部， 輸入 \(u\) 推動狀態，狀態產生輸出 \(y\) 。

就像力學裡「位置+動量」完整決定未來（相空間），控制裡「狀態向量」完整決定系統行為。

正規理論#

狀態空間方程#

線性連續時間系統：

\[ \dot x = A x + B u, \qquad y = C x + D u \]
  • \(x \in \mathbb{R}^n\) ：狀態向量；
  • \(u \in \mathbb{R}^p\) ：輸入， \(y \in \mathbb{R}^q\) ：輸出；
  • \(A\ (n\times n)\) ：系統矩陣， \(B\ (n\times p)\) ：輸入矩陣， \(C\ (q\times n)\) ：輸出矩陣， \(D\) ：直通矩陣。

解：矩陣指數#

齊次方程 \(\dot x = Ax\) 的解：

\[ x(t) = e^{At}\,x(0), \qquad e^{At} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(At)^k}{k!} \]

完整解（變異常數法）：

\[ x(t) = e^{A(t-t_0)}x(t_0) + \int_{t_0}^t e^{A(t-\tau)}B u(\tau)\, d\tau \]

\(e^{At}\) 稱為狀態轉移矩陣 \(\Phi(t)\) ，它把「 \(t_0\) 的狀態」搬到「 \(t\) 的狀態」。

與轉移函數的關係#

對狀態空間方程取 Laplace 變換（零初始條件）：

\[ sX = AX + BU \Rightarrow X = (sI - A)^{-1}BU, \qquad Y = CX + DU \]

得轉移函數：

\[ G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D \]
  • \((sI-A)^{-1}\) 的分母 \(\det(sI - A)\) = \(A\) 的特徵多項式—— 狀態空間的極點 = \(A\) 的特徵值，兩種語言完全相通。

特徵值與穩定性#

\[ \text{系統漸近穩定} \;\Longleftrightarrow\; \Re(\lambda_i(A)) < 0,\ \forall i \]

這與 03.1 的 Routh、03.2 的 Lyapunov 是同一件事的三種語言。

簡易範例：質量–彈簧–阻尼#

\(m\ddot y + c\dot y + ky = F\) 。取狀態 \(x_1 = y\) （位置）， \(x_2 = \dot y\) （速度）：

\[ \dot x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -k/m & -c/m \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 1/m \end{pmatrix} F, \qquad y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} x \]

特徵多項式： \(\lambda^2 + \dfrac{c}{m}\lambda + \dfrac{k}{m}\) —— 正是 02.3 的 \(\omega_n, \zeta\) ： \(\omega_n = \sqrt{k/m}\) ， \(\zeta = \dfrac{c}{2\sqrt{mk}}\) 。

\(m = 1, c = 2, k = 5\) ： \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -5 & -2 \end{pmatrix}\) ， 特徵值 \(\lambda = -1 \pm 2j\) （ \(\Re = -1 < 0\) ，穩定欠阻尼）。

一個矩陣 \(A\) ，收納了全部動態。

歷史典故#

習題#

  1. 把 RLC 電路（02.1）寫成狀態空間形式（狀態取電感電流與電容電壓）。
  2. 用 \(e^{At}\) 的級數驗證： \(\dot x = ax\) 的解是 \(x(t) = e^{at}x(0)\) 。