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05.2 可控性、可觀測性與狀態回饋#

本章導讀#

狀態空間法最深刻的部分不是解方程，而是兩個「結構性問題」：

  • 可控性：我能用輸入把狀態推到任何地方嗎？
  • 可觀測性：我能從輸出反推內部狀態嗎？

Kalman 的秩判據用一行矩陣計算回答這兩個問題——它們決定了狀態回饋設計的可能。

淺顯說明#

  • 可控性像開車：方向盤（輸入）能不能讓車到達任何位置與姿態？ 如果某個輪子卡死不受控，某些狀態就永遠到不了。
  • 可觀測性像看儀表板：儀表（輸出）夠不夠反推車的完整狀態？ 沒有轉速表，你就不知道引擎狀態。

正規理論#

可控性#

系統 \((A, B)\) 可控若：對任意初態 \(x_0\) 與目標 \(x_1\) ，存在輸入 \(u(t)\) 在有限時間內把 \(x(t_0) = x_0\) 推到 \(x(t_1) = x_1\) 。

Kalman 可控性判據#

\[ \text{可控} \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{rank}\begin{pmatrix} B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B \end{pmatrix} = n \]

可觀測性#

系統 \((A, C)\) 可觀測若：任意有限時間的輸出 \(y(t)\) 與輸入 \(u(t)\) 足以唯一確定初態 \(x(0)\) 。

Kalman 可觀測性判據#

\[ \text{可觀測} \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{rank}\begin{pmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{pmatrix} = n \]

對偶性#

\((A, B)\) 可控 ⇔ \((A^T, B^T)\) 可觀測——兩個問題是同一個問題的鏡像。

狀態回饋與極點配置#

控制律 \(u = -Kx + v\) （把狀態回饋）：

\[ \dot x = (A - BK)x + Bv \]

極點配置定理：

\((A, B)\) 可控 ⇔ 存在 \(K\) 使 \(A - BK\) 的特徵值配置在任意指定位置。

回饋把極點搬到任何你想要的地方——這是狀態回饋的威力，也是可控性的實際意義。

簡易範例：二階系統的極點配置#

雙積分器 \(\ddot y = u\) （如衛星姿態），狀態 \(x_1 = y\) 、 \(x_2 = \dot y\) ：

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

可控性矩陣 \(\begin{pmatrix} B & AB \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) ， 行列式 \(= -1 \ne 0\) ——可控。

狀態回饋 \(u = -k_1 x_1 - k_2 x_2\) ：

\[ A - BK = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -k_1 & -k_2 \end{pmatrix}, \qquad \det(\lambda I - (A-BK)) = \lambda^2 + k_2\lambda + k_1 \]

想要極點在 \(\lambda = -2 \pm 2j\) （ \(\omega_n = 2\sqrt2\) ， \(\zeta = 0.707\) ）： 對照 \((\lambda + 2)^2 + 4 = \lambda^2 + 4\lambda + 8\) ，得 \(k_1 = 8\) ， \(k_2 = 4\) 。

閉迴路就是欠阻尼 0.707 的二階系統——工程甜蜜點，完全由設計決定。

歷史典故#

習題#

  1. 判斷 \(\dot x_1 = x_2\) 、 \(\dot x_2 = x_2 + u\) （注意： \(A\) 的兩個特徵值重根）的可控性。
  2. 上例極點配置到 \(\lambda = -1 \pm j\) ，求 \(k_1, k_2\) 。