06.1 變分法與 Pontryagin 最大值原理#

本章導讀#

前面章節問「怎麼穩」；最佳控制問「怎麼最好」—— 最快登月、最少油耗、最短時間停車。 1956 年 Pontryagin 的最大值原理給出最佳控制的必要條件，是變分法的推廣。

微積分找「函數的最小值」（一個數），變分法找「路徑的最小值」（一條曲線）。最佳控制再進一步：找「決策序列的最小值」（控制量 \(u(t)\) 怎麼隨時間變）。

就像最速降線問題（Bernoulli 問：什麼曲線讓彈珠滑得最快？），最佳控制問：什麼控制策略讓火箭最省油？

系統 \(\dot x = f(x, u)\) ，代價泛函：

\[ J = \varphi(x(t_f)) + \int_0^{t_f} L(x, u)\, dt \]

引入協態變數（costate） \(\lambda\) ，定義 Hamiltonian：

\[ \mathcal{H}(x, u, \lambda) = L(x, u) + \lambda^T f(x, u) \]

最佳解的必要條件（歐拉–拉格朗日式的推廣）：

\[ \dot x = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} = f(x, u) \quad\text{（狀態方程）} \]

\[ \dot\lambda = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial x} \quad\text{（協態方程）} \]

\[ \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial u} = 0 \quad\text{（控制最佳條件）} \]

控制受限（ \(u \in U\) ）時， \(\partial\mathcal{H}/\partial u = 0\) 可能無內點解。 Pontryagin 的推廣：

最佳控制 \(u^*\) 必使 Hamiltonian 在 \(U\) 上最大化/最小化：

\[ > u^* \in \arg\min_{u \in U} \mathcal{H}(x^*, u, \lambda^*) > \]

（協態方程與終端條件 \(\lambda(t_f) = \nabla\varphi(x(t_f))\) 同時成立。）

若 \(\mathcal{H}\) 對 \(u\) 是線性的（ \(\mathcal{H} = \cdots + \lambda^T b\,u\) ），最佳解在 \(U\) 的邊界跳來跳去——全速前進或全速倒退，bang-bang 控制：如冰箱壓縮機只有開/關、火箭推力只有全開/全關。

質點 \(\dot x_1 = x_2\) ， \(\dot x_2 = u\) ， \(|u| \le 1\) ，從 \(x(0) = (0, 0)\) 到 \(x(t_f) = (1, 0)\) ，最短時間 \(t_f\) 。

Hamiltonian： \(\mathcal{H} = 1 + \lambda_1 x_2 + \lambda_2 u\) （時間最小問題取 \(L = 1\) ）。

最佳控制最小化 \(\mathcal{H}\) 對 \(u\) ： \(u^* = -\operatorname{sign}(\lambda_2)\) ——bang-bang！

協態方程： \(\dot\lambda_1 = 0\) ， \(\dot\lambda_2 = -\lambda_1\) ，故 \(\lambda_2\) 是線性函數，至多變號一次。解：先全速後退、再全速前進（或反過來），中間切換一次。

直觀：要最快到目的地，油門只有全踩與全煞——沒有「溫柔駕駛」的餘地。

1956 年 Pontryagin 提出最大值原理，見 1956-Pontryagin最大值原理.md—— 蘇聯學派用拓撲方法攻克控制受限的難題，與美國的 Bellman 雙雄並立。
變分法的根源（最速降線、Euler–Lagrange）見 ../../微積分/1744-Euler變分法.md。

最短時間爬升： \(\dot x_1 = x_2\) 、 \(\dot x_2 = u\) ， \(|u| \le 1\) ，從 \((0,0)\) 到 \((0,1)\) 。說明最佳策略。
證明： \(\mathcal{H}\) 對 \(u\) 線性且 \(U = [-1, 1]\) 時，最佳控制必在 \(\pm 1\) 。