07.1 \(H_\infty\) 魯棒控制#

本章導讀#

LQR 對「已知模型」最佳，但真實模型總有誤差。 1981 年 Zames 提出不同的問題：在最壞的模型誤差與擾動下，讓誤差最小。這是 minimax（最壞情況最佳化）——魯棒控制誕生。

LQR 像「晴天開車最快」； \(H_\infty\) 像「暴風雨也能安全到達」。它不追求平均表現最好，而是保證最壞情況不會太糟。

直觀：設計時假設「上天會用最狠的擾動攻擊你」，你的控制器要在這個假設下仍然守住——這就是魯棒（robust）。

穩定轉移函數 \(G(s)\) 的 \(H_\infty\) 範數——最壞頻率的增益：

\[ \|G\|_\infty = \sup_{\omega} |G(j\omega)| = \sup_{\omega} \sigma_{\max}\big(G(j\omega)\big) \]

（MIMO 情形取最大奇異值。）

它有能量意義： \(\|G\|_\infty\) 是輸入能量到輸出能量的最大放大率（誘導 2-範數）。

回饋系統的敏感度 \(S = \dfrac{1}{1+L}\) （擾動到誤差的增益）。 \(H_\infty\) 設計問題：

\[ \min_K \left\| W(s)\, S(s) \right\|_\infty \]

模型誤差用「乘性不確定性」表示： \(G_{real} = G(1 + \Delta)\) ， \(\|\Delta\|_\infty \le \gamma\) 。

小增益定理：

閉迴路對所有 \(\|\Delta\|_\infty \le \gamma\) 的模型誤差都穩定，若：

\[ > \left\|\gamma\, T(s)\right\|_\infty < 1, \qquad T = \frac{L}{1+L} > \]

魯棒穩定 ⇔ 補敏度 \(T\) 的最壞增益小於誤差界。 \(S\) （抗擾）與 \(T\) （抗誤差）永遠滿足 \(S + T = 1\) ——魯棒控制的中心取捨。

1987 年 Doyle–Glover–Khargonekar–Francis 證明： \(H_\infty\) 問題可解為：

對給定 \(\gamma\) ，檢查兩個 Riccati 方程（類似 LQR 的 ARE）是否有正定解。二分搜尋 \(\gamma\) ，得最優的 \(\|W S\|_\infty\) 。

\(G = \dfrac{1}{s+1}\) ：

\[ |G(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{\omega^2 + 1}} \le 1, \qquad \|G\|_\infty = 1 \ \ (\text{在 } \omega = 0) \]

閉迴路 \(T = \dfrac{k}{s+1+k}\) （ \(k = 9\) ）：

\[ \|T\|_\infty = \frac{k}{1+k} = \frac{9}{10} \approx 0.9 \]

小增益定理：此迴路可容忍 \(\|\Delta\|_\infty < 1/0.9 \approx 1.1\) 的乘性模型誤差—— 即模型增益可以錯超過 100% 仍穩定。回饋把魯棒性買了進來。

1981 年 Zames 提出 \(H_\infty\) 最佳化，見 1981-H∞魯棒控制.md—— 他從 Nyquist 的頻域傳統出發，把「最壞情況」數學化。
1987 年 DGKF 完成狀態空間解法，見 1987-H∞狀態空間解法.md—— 兩個 Riccati 方程讓理論變成可用工具（MATLAB 的 hinfsyn 即源於此）。

求 \(G = \dfrac{1}{(s+1)(s+2)}\) 的 \(\|G\|_\infty\) 。（ \(\omega = 0\) ， \(= 1/2\) ）
證明 \(S + T = 1\) ，並說明為什麼「低頻要 \(S\) 小、高頻要 \(T\) 小」導致頻寬限制。