1877 - Routh 穩定性判據#

案件摘要#

1877 年，Edward John Routh（羅斯）出版《動力系統穩定性論著》(A Treatise on the Stability of a Given State of Motion)，提出Routh 判據：不用解特徵方程，只用係數排成的表格（Routh 表）就能判斷「特徵根是否都在左半平面」。Maxwell 的線索（穩定性 = 根的實部符號，見 1868-Maxwell論調速器.md）被系統化成機械化的計算程序——工程師第一次有了「紙上判穩」的標準工具。

前因#

Maxwell 的線索（1868）：穩定性 = 特徵根實部皆負；但他只給了低階情形的條件。
高階系統的困境：蒸汽機 + 調速器的模型常是 3–5 階，五階以上多項式沒有根式解 （Abel–Ruffini 定理，1824）——「先解根再判穩」這條路數學上不通！
Abel 與 Galois 的警告：五階以上方程不可用根式解——逼出「不求解的判據」這個全新思路。

線索與推理#

第 1 步：問題的精確形式#

給定特徵多項式

\[ a_n \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0 = 0, \qquad a_n > 0 \]

問題：所有根是否都在左半平面（ \(\mathrm{Re}(\lambda_i) < 0\) ）？——不解方程回答。

第 2 步：Routh 表的構造#

把係數排成兩列，再逐列計算：

\[ \begin{array}{c|cccc} \lambda^n & a_n & a_{n-2} & a_{n-4} & \cdots \\ \lambda^{n-1} & a_{n-1} & a_{n-3} & a_{n-5} & \cdots \\ \lambda^{n-2} & b_1 & b_2 & b_3 & \cdots \\ \lambda^{n-3} & c_1 & c_2 & c_3 & \cdots \\ \vdots & \vdots & & & \\ \end{array} \]

其中

\[ b_1 = \frac{a_{n-1}a_{n-2} - a_n a_{n-3}}{a_{n-1}}, \qquad b_2 = \frac{a_{n-1}a_{n-4} - a_n a_{n-5}}{a_{n-1}}, \quad \dots \]

\[ c_1 = \frac{b_1 a_{n-3} - a_{n-1} b_2}{b_1}, \quad \dots \]

第 3 步：判據#

Routh 判據：特徵根在右半平面的個數 = Routh 表第一列的變號次數。

所以：

\[ \text{穩定} \;\Longleftrightarrow\; \text{第一列全為正（無變號）} \]

第 4 步：必要條件的速查版#

在排 Routh 表之前，有兩個必要條件可以秒殺：

係數全為正：任何係數 \(\le 0\) ⇒ 必不穩定（不用再算）。
缺項：任何次數的係數缺失 ⇒ 必不穩定。

範例：三階系統判穩#

\[ \lambda^3 + 6\lambda^2 + 11\lambda + 6 = 0 \]

Routh 表：

\[ \begin{array}{c|cc} \lambda^3 & 1 & 11 \\ \lambda^2 & 6 & 6 \\ \lambda^1 & \frac{6 \times 11 - 1 \times 6}{6} = 10 & \\ \lambda^0 & 6 & \\ \end{array} \]

第一列 \(1, 6, 10, 6\) 全正、無變號 ⇒ 穩定（實際上根是 \(-1, -2, -3\) ，全在左半平面）。

反例：

\[ \lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda + 5 = 0 \]

\[ \begin{array}{c|cc} \lambda^3 & 1 & 1 \\ \lambda^2 & 2 & 5 \\ \lambda^1 & \frac{2 \times 1 - 1 \times 5}{2} = -1.5 & \\ \lambda^0 & 5 & \\ \end{array} \]

第一列 \(1, 2, -1.5, 5\) ：變號兩次（ \(2 \to -1.5\) 、 \(-1.5 \to 5\) ）⇒ 兩個根在右半平面，不穩定。

為什麼這是偵探式的突破？#

Maxwell 給了線索（根的實部符號），但「解根」這條路被 Abel 堵死了。 Routh 的手法是繞過根、直接從係數提取符號資訊—— 這是「不回答原問題、回答等價問題」的偵探技巧：不看兇手的臉（根），只看指紋（係數）。

後果#

Routh 判據成為經典控制的標準工具，至今仍在教科書中。
Hurwitz（1893）獨立導出等價的矩陣形式（Hurwitz 矩陣），更適合代數證明——見 1893-Hurwitz判據.md。
「不求解的判據」思想延續：Nyquist 判據（1932，頻域版，見 1932-Nyquist判據.md）。
限制：Routh 判據只適用線性定常系統；非線性系統要等 Lyapunov（見 1892-Lyapunov穩定性.md）。

結案陳詞#

Routh 判據把「判穩」從求解方程的苦工，變成機械化的表格計算。它證明了 Abelle 的不可能定理反而催生了新方法：解不開的方程，可以繞開它。這是控制理論第一次擁有「標準化的設計工具」。