1948 - Evans 根軌跡法#
案件摘要#
1948 年，Walter Evans（伊凡斯）在 General Electric 發表根軌跡法（root locus method）： 畫出增益變動時閉環極點的移動軌跡。Nyquist/Bode 的頻域方法（見 1932-Nyquist判據.md、1945-Bode回饋放大器設計.md） 回答「穩不穩」，但不回答「極點在哪裡、怎麼移動」—— 根軌跡把閉環極點的全域圖像畫在一張圖上，設計者一眼看出增益從 0 到 \(\infty\) 時 系統從穩定到不穩定的全過程。時域直觀與頻域設計的橋樑誕生。
前因#
- 二戰的伺服設計需求：GE 的伺服系統（火炮、雷達）需要快速設計工具——頻域方法需要量測與作圖，時域直觀缺失。
- Maxwell–Routh 的遺產：閉環極點決定暫態行為（超調、振盪、收斂速度）——但五階以上解根不可行（Abel 定理）。
- 繪圖式計算的傳統：戰前的線路圖分析（smith 圖、圓圖）——「用幾何規則畫圖代替計算」是工程慣用手法。
- Nyquist 判據的限制：頻域回答穩定性，但暫態響應（時域）與頻域的對應模糊——工程師想要「直接看極點」。
線索與推理#
第 1 步：問題的精確形式#
閉環系統的特徵方程：
問題：當 \(k\) 從 0 變到 \(\infty\) ，特徵根 \(s_i(k)\) 在複數平面上怎麼移動？
五階以上解根不可行——但 Evans 發現：軌跡本身服從簡單的幾何規則， 不用解根就能畫出來！
第 2 步：軌跡的幾何規則#
特徵方程等價於兩個條件：
相位條件與 \(k\) 無關！所以軌跡的「形狀」由相位條件唯一決定， \(k\) 只決定「在軌跡上的位置」。從這個觀察，Evans 導出一組幾何規則：
| 規則 | 內容 |
|---|---|
| 1. 起點與終點 | 軌跡從開環極點（ \(k=0\) ）出發，止於開環零點（ \(k=\infty\) ） |
| 2. 分支數 | 軌跡分支數 = \(\max(n, m)\) （ \(n\) 個極點、 \(m\) 個零點） |
| 3. 實軸段 | 實軸上，右側極點+零點總數為奇數的區段屬於軌跡 |
| 4. 漸近線 | \(n - m\) 條漸近線，角度 \(\dfrac{(2m+1)\pi}{n-m}\) ，交於重心 \(\sigma = \dfrac{\sum p_i - \sum z_i}{n-m}\) |
| 5. 分離點 | 軌跡離開實軸的點： \(\dfrac{d}{ds}G(s) = 0\) |
| 6. 虛軸交點 | 與虛軸交點 = 臨界增益（Routh 判據可求） |
用這六條規則，手繪就能畫出全域軌跡——不用解任何方程。
第 3 步：範例——二階系統的根軌跡#
特徵方程： \(s^2 + 2s + k = 0\) ，根 \(s = -1 \pm\sqrt{1 - k}\) 。
| \(k\) | 極點位置 | 行為 |
|---|---|---|
| \(k = 0\) | \(s = 0, -2\) （開環極點） | — |
| \(0 < k < 1\) | 實軸上兩個負實根 | 過阻尼 |
| \(k = 1\) | \(s = -1\) （雙重根，分離點） | 臨界阻尼 |
| \(k > 1\) | \(s = -1 \pm j\sqrt{k-1}\) （共軛複根） | 欠阻尼，虛部隨 \(k\) 增大 |
| \(\infty\) | \(\pm j\infty\) | 漸近線 \(\pm 90°\) ，交於 \(-1\) |
一張圖看盡系統的全域行為：增益從 0 加到 \(\infty\) ，系統從過阻尼 → 臨界 → 欠阻尼， 永遠穩定（實部恆為 \(-1\) ）但越來越振盪——設計者一眼選出最佳增益（如 \(k = 1\) 附近，臨界阻尼）。
第 4 步：為什麼根軌跡有價值？#
頻域方法（Bode/Nyquist）與時域（極點）的對應關係：
| 時域指標 | 極點位置 | 頻域指標 |
|---|---|---|
| 上升速度 | 實部 \(\sigma\) （越負越快） | 頻寬 \(\omega_{gc}\) |
| 超調量 | 阻尼比 \(\zeta = \cos\theta\) （ \(\theta\) 是極點角度） | 相位裕度 PM |
| 振盪頻率 | 虛部 \(\omega_d\) | 諧振峰 |
根軌跡讓設計者直接在時域語言（極點位置）中做設計， 再用對應關係換算成頻域驗收——時域與頻域的橋樑。
後果#
- 根軌跡成為經典控制的三大工具之一（Nyquist、Bode、根軌跡），至今仍在教科書中。
- GE 與 aerospace 工業的伺服設計標準化。
- 手繪時代結束後，MATLAB 的
rlocus延續這個方法——思想不變，工具進化。 - 「極點配置」的設計思想延續到現代控制：狀態回饋的極點配置（pole placement）是 Kalman 時代的方法（見 1960-Kalman狀態空間與濾波.md）。
結案陳詞#
Evans 的偵探手法是「找軌跡的幾何規則」：五階以上解根不可行， 但軌跡本身服從相位條件給出的簡單幾何——不解根、畫出全域。 根軌跡是經典控制最直觀的工具，把「穩定」與「性能」畫在同一張圖上。